Ένα...διδακτικό επεισόδιο της στιγμής

#1

Ο Σπύρος κι ο Χρήστος, δύο καλοί μαθητές της Θετικής Κατεύθυνσης του Λυκείου Μπουφιάδη,απομακρύνονταν από το σχολείο
τους κατάκοποι,μα πάντα με καλή διάθεση όσον αφορά τα μαθηματικά.
Ο καθηγητής της Άλγεβρας Γενικής παιδείας τους είχε θέσει την παρακάτω άσκηση...
''Αν $\displaystyle{ \tan 10^0 = \lambda }$
να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{ \frac{{\tan 170^0 - \tan 100^0 }}{{1 + \tan 170^0 \tan 100^0 }} }$ ''

Ο Σπύρος είπε τα εξής:
''Έχω πως $\displaystyle{ \frac{{\tan 170^0 - \tan 100^0 }}{{1 + \tan 170^0 \tan 100^0 }} = \tan (170^0 - 100^0 ) = \tan 70^0 = \tan (60^0 + 10^0 ) = \frac{{\tan 60^0 + \tan 10^0 }}{{1 - \tan 60^0 \tan 10^0 }} = \frac{{\sqrt 3 + \lambda }}{{1 - \lambda \sqrt 3 }} }$ '' και μετά από τόσα που είπε σκουντούφλησε και παραλίγο να φάει τα μούτρα του...

''Ώπα,όρθιος '' είπε ο Χρήστος και άρχισε να λέει τη δική του σκέψη...

''Έχω:

$\displaystyle{ \frac{{\tan 170^0 - \tan 100^0 }}{{1 + \tan 170^0 \tan 100^0 }} = \tan (170^0 - 100^0 ) = \tan 70^0 = \tan (90^0 - 20^0 ) = \frac{1}{{\tan 20^0 }} = \frac{1}{{\frac{{2\tan 10^0 }}{{1 - \tan ^2 10^0 }}}} = \frac{{1 - \tan ^2 10^0 }}{{2\tan 10^0 }} = \frac{{1 - \lambda ^2 }}{{2\lambda }} }$ ''

Ο Σπύρος είπε:
''Mα αυτές οι δύο εκφράσεις είναι διαφορετικές,πως γίνεται να εκφράζουν το ίδιο πράγμα;''

Τότε ο Χρήστος συμπλήρωσε:

''Χμμμ...σα να έχεις δίκιο!Μάλλον θα φταίει η κούραση.Πεινάω κιόλας.Άστα να πάνε.Θα το δω και θα σου πω.''

Ο Σπύρος συμφώνησε και είπε καταλήγοντας:
''Σα να έχεις δίκιο,έχω μία πείνα που δε σε βλέπω...''

Οι δύο φίλοι χωρίσανε για τα σπίτια τους έχοντας μία σφηνωμένη απορία στο μυαλό τους.

1)Που εντοπίζετε την πηγή της ''αντιδικίας'' των δύο απόψεων;
2)Τι θα συμβουλεύατε τους δύο μαθητές;

#2

Καταρχάς, θα τους συμβούλευα να πάνε να φάνε γιατί νηστικό αρκούδι δε χορεύει!

Στο θέμα μας τώρα:

Και οι δύο εκφράσεις είναι σωστές. Διαφορετικές δεν είναι, γιατί τα κλάσματα είναι ίσα για τη συγκεκριμένη τιμή του $\displaystyle{\lambda =\tan 10^0.}$

Αυτό μπορούμε να το δούμε παρατηρώντας, ότι $\displaystyle{\tan (3\cdot 10^0)=\frac{1}{\sqrt{3}}}$ και με χρήση της ταυτότητας για το $\displaystyle{\tan 3x}$ βλέπουμε, ότι το $\displaystyle{\lambda}$ ικανοποιεί μία εξίσωση 3ου βαθμού (πολυωνυμική).

#3

chris_gatos έγραψε:Ο Σπύρος κι ο Χρήστος, δύο καλοί μαθητές της Θετικής Κατεύθυνσης του Λύκειου Μπουφιάδη,απομακρύνονταν από το σχολείο
τους κατάκοποι,μα πάντα με καλή διάθεση όσον αφορά τα μαθηματικά.
Ο καθηγητής της Άλγεβρας Γενικής παιδείας τους είχε θέσει την παρακάτω άσκηση...
''Αν $\displaystyle{ \tan 10^0 = \lambda }$
να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{ \frac{{\tan 170^0 - \tan 100^0 }}{{1 + \tan 170^0 \tan 100^0 }} }$ ''

Ο Σπύρος είπε τα εξής:
''Έχω πως $\displaystyle{ \frac{{\tan 170^0 - \tan 100^0 }}{{1 + \tan 170^0 \tan 100^0 }} = \tan (170^0 - 100^0 ) = \tan 70^0 = \tan (60^0 + 10^0 ) = \frac{{\tan 60^0 + \tan 10^0 }}{{1 - \tan 60^0 \tan 10^0 }} = \frac{{\sqrt 3 + \lambda }}{{1 - \lambda \sqrt 3 }} }$ '' και μετά από τόσα που είπε σκουντούφλησε και παραλίγο να φάει τα μούτρα του...

''Ώπα,όρθιος '' είπε ο Χρήστος και άρχισε να λέει τη δική του σκέψη...

''Έχω:

$\displaystyle{ \frac{{\tan 170^0 - \tan 100^0 }}{{1 + \tan 170^0 \tan 100^0 }} = \tan (170^0 - 100^0 ) = \tan 70^0 = \tan (90^0 - 20^0 ) = \frac{1}{{\tan 20^0 }} = \frac{1}{{\frac{{2\tan 10^0 }}{{1 - \tan ^2 10^0 }}}} = \frac{{1 - \tan ^2 10^0 }}{{2\tan 10^0 }} = \frac{{1 - \lambda ^2 }}{{2\lambda }} }$ ''

Ο Σπύρος είπε:
''Mα αυτές οι δύο εκφράσεις είναι διαφορετικές,πως γίνεται να εκφράζουν το ίδιο πράγμα;''

Τότε ο Χρήστος συμπλήρωσε:

''Χμμμ...σα να έχεις δίκιο!Μάλλον θα φταίει η κούραση.Πεινάω κιόλας.Άστα να πάνε.Θα το δω και θα σου πω.''

Ο Σπύρος συμφώνησε και είπε καταλήγοντας:
''Σα να έχεις δίκιο,έχω μία πείνα που δε σε βλέπω...''

Οι δύο φίλοι χωρίσανε για τα σπίτια τους έχοντας μία σφηνωμένη απορία στο μυαλό τους.

1)Που εντοπίζετε την πηγή της ''αντιδικίας'' των δύο απόψεων;
2)Τι θα συμβουλεύατε τους δύο μαθητές;

Καλό!!!

Γιώργος Απόκης · #4

1) Η απάντηση δόθηκε παραπάνω, απλώς παραπέμπω στο:
viewtopic.php?f=69&t=2294

2)Στη θέση τους θα περίμενα λίγο να δω τι φαγητό υπήρχε και μετά θα διάλεγα αν θα ικανοποιούσα την απορία ή την πείνα μου...

#5

Εγω απλά θα παρακαλούσα όλα τα μέλη μας,αν έχουν κάποιες ιδέες για ένα διδακτικό επεισόδιο να τις
καταθέτουν με όποιον τρόπο μπορούν.Δεν ξέρω αν θα φτάνουν το επίπεδο αυτών που ζητούνται στο
διαγωνισμό,αλλά το μόνο σίγουρο είναι πως θα βοηθούνταν αρκετοί από εμάς στο ξεκαθάρισμα λεπτών
ή λιγότερο λεπτών εννοιών.Αυτό θα είναι και το κέρδος.Επιπλέον θα ήθελα και τη συμμετοχή περισσότερων
''επιφανών'' μελών,στο μέτρο του δυνατού.
Τελειώνοντας να πω πως (δυστυχώς ή ευτυχώς δεν ξέρω) τα δικά μου θα φροντίζω να τα δίνω με μπόλικη
δόση χιούμορ.
Ευχαριστώ

Ένα...διδακτικό επεισόδιο της στιγμής

Ένα...διδακτικό επεισόδιο της στιγμής

Re: Ένα...διδακτικό επεισόδιο της στιγμής

Re: Ένα...διδακτικό επεισόδιο της στιγμής

Re: Ένα...διδακτικό επεισόδιο της στιγμής

Re: Ένα...διδακτικό επεισόδιο της στιγμής

Μέλη σε σύνδεση