Συναρτησιακή 260

#1

Υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}$ ;

peter · #2

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Ένας τρόπος να το δούμε είναι ο εξής: Είναι γνωστό ότι το σύνολο των στάσιμων σημείων (ρίζες της πρώτης παραγώγου) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι $G_\delta$ σύνολο. Επίσης, είναι γνωστό (Baire) ότι το σύνολο των ρητών δεν είναι τέτοιο σύνολο.

Μπορούμε όμως να δείξουμε το εξής: Υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,1]\to \mathbb R$ , μη σταθερή, ώστε το $\{x: f{'}(x)=0\}$ να είναι πυκνό στο [0,1]

.

Συναρτησιακή 260

Συναρτησιακή 260

Re: Συναρτησιακή 260

Μέλη σε σύνδεση