G^2 άρτιο πολυώνυμα

#1

Με αφορμή μία συζήτηση σε άλλο θέμα, προέκυψε το εξής:

Αν G πολυώνυμο τέτοιο ώστε το G^2(x)

έχει μόνο άρτιους όρους, τότε το G είτε έχει μόνο άρτιους όρους είτε έχει μόνο περιττούς (και τα δύο είναι πιθανά).

Μία λύση συζητήθηκε αλλού. Επειδή το θέμα είναι ενδιαφέρον, βάζω δύο λύσεις (η μία είναι αυτή που συζητήθηκε). Προσκαλώ τους συναδέλφους για άλλες ακόμα λύσεις επειδή οι λύσεις που βάζω χρησιμοποιούν κάτι που έχει μεν διατυπωθεί στο σχολικό βιβλίο, αλλά είναι χωρίς απόδειξη.

1) Εξ υποθέσεως για κάποιο πολυώνυμο P είναι G^2(x) = P(x^2)

, για κάθε x. Άρα
(G(x) + G(-x))(G(x) - G(x)) = G^2(x) - G^2(-x) = P(x^2) - P((-x)^2) = 0

.
Άρα κάποιο από τα πολυώνυμα G(x) + G(-x), G(x) - G(x)

μηδενίζεται για άπειρες τιμές του x. Συνεπώς είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Έτσι, είτε
G(-x) =- G(-x)

για κάθε x, είτε G(-x) = G(x)

για κάθε x, και λοιπά.

2) Μαζεύουμε μαζί όλους τους άρτιους όρους του G και, χωριστά, όλους τους περιττούς.
Είναι λοιπόν G(x) = p(x) + q(x)x

όπου τα p, q έχουν (και τα δύο) μόνο άρτιους όρους.
Άρα p^2(x) + 2p(x)q(x)x + q^2(x)x^2 = G^2(x)

= μόνο άρτιοι όροι.
Όμως τα p^2(x), q^2(x), p(x)q(x)

έχουν μόνο άρτιους όρους, οπότε
p(x)q(x)x = 0 (αλλιώς θα είχαμε και περιττούς όρους). Αλλά τότε είτε p, είτε q μηδενίζεται για άπειρο πλήθος από x, οπότε είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Στην πρώτη περίπτωση
G(x) = q(x)x = μόνο περιττοί όροι, και στην δεύτερη G(x) = p(x) = μόνο άρτιοι.

Φιλικά,

Μιχάλης.

hsiodos · #2

Καλημέρα
Με την προσθήκη ότι $G(0)=a_0\neq 0$
Έστω ότι το G(x) έχει και περιττής τάξης όρους με μεγιστοβάθμιο αυτών τον $kx^{2n+1},k\in R^{*},n\in N$
Άρα στο ανάπτυγμα του τετραγώνου του G(x) θα υπάρχει ο περιττής τάξης όρος $2a_0kx^{2n+1}$
Αν ο όρος αυτός δεν έχει αντίθετο του , στο ανάπτυγμα του τετραγώνου του G(x), έχουμε φτάσει σε άτοπο.
Για να υπάρχει τώρα αντίθετος του , πρέπει το G(x) να έχει όρους $\lambda x^{2p}, \mu x^{2q+1},\lambda ,\mu \in R^{*},p\in N,q\in N^{*}$ έτσι ώστε
$2\lambda \mu x^{2(p+q)+1}$ $=-2a_0kx^{2n+1}$
Προκύπτει ότι q<n

δηλαδή το G(x) έχει σαν όρο τον $\mu x^{2q+1},\,\,\,q<n,q\in N^{*}$
Αν q = 0 έχουμε καταλήξει ότι το G(x) έχει όρο πρώτου βαθμού.
Διαφορετικά συνεχίζουμε όπως πριν (τώρα στο ανάπτυγμα του τετραγώνου του G(x) θα υπάρχει ο περιττής τάξης όρος $2a_0\mu x^{2q+1}$ κλπ)
οπότε ή θα έχουμε καταλήξει σε άτοπο ή θα βρούμε αναγκαστικά ότι το G(x) έχει όρο πρώτου βαθμού.
Στην περίπτωση αυτή και πάλι στο ανάπτυγμα του τετραγώνου του G(x) θα υπάρχει ο περιττής τάξης όρος 2a_ok_1x

που είναι άτοπο.
Άρα το G(x) έχει μόνο άρτιες δυνάμεις.

Ελπίζω να μην υπάρχει λάθος,

Γιώργος

******** Συμπλήρωση*******

Αν G(0) =0 και n ο βαθμός του G(x) με μεγιστοβάθμιο όρο $a_nx^n,\,\,\,a_n\neq 0 ,n\in N$
1) Αν n άρτιος
Έστω ότι το G(x) έχει και περιττής τάξης όρους με μεγιστοβάθμιο αυτών τον $kx^{2p+1},k\in R^{*},p\in N^*$ , 2p+1<n

Άρα στο ανάπτυγμα του τετραγώνου του G(x) θα υπάρχει ο περιττής τάξης όρος $2a_nx^nkx^{2p+1}$ που δεν μπορεί να έχει αντίθετο αφού όλα τα τετράγωνα (του αναπτύγματος) έχουν άρτιο βαθμό και αν υπάρχει άλλο διπλάσιο γινόμενο περιττής τάξης θα έχει βαθμό μικρότερο του προηγούμενου.
Συνεπώς έχουμε φτάσει σε άτοπο και άρα το G(x) έχει μόνο άρτιους όρους.

2)Αν n περιττός
Δεχόμαστε ότι έχει άρτιο όρο και με ανάλογο σκεπτικό καταλήγουμε σε άτοπο.
Άρα τότε το το G(x) έχει μόνο περιττούς όρους.

G^2 άρτιο πολυώνυμα

G^2 άρτιο πολυώνυμα

Re: G^2 άρτιο πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση