Συγκρισούλα 5

vasilis.volos.13 · #1

Να συγκριθούν οι αριθμοί $\sqrt[\alpha +1]{a}$ και $\sqrt[\alpha ]{\alpha +1}$ όταν $\alpha \geq 2$ με τον $\alpha$ φυσικό

stavros11 · #2

vasilis.volos.13 έγραψε:Να συγκριθούν οι αριθμοί $\sqrt[\alpha +1]{a}$ και $\sqrt[\alpha ]{\alpha +1}$ όταν $\alpha \geq 2$ με τον $\alpha$ φυσικό

Προφανώς ισχύει $\displaystyle{a+1>a}$
$\displaystyle{\frac{(a+1)^{a+1}}{a^a}>\frac{a^{a+1}}{a^a}=a>1\Rightarrow (a+1)^{a+1}>a^a\Rightarrow \sqrt[a]{a+1}>\sqrt[a+1]{a}}$

Διαφορετικά:
Προφανώς ισχύει $\displaystyle{a+1>a\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[a]{a+1}>\sqrt[a]{a} \; \; (1)\\ \frac{1}{a}>\frac{1}{a+1} \; \; (2) \end{matrix}\right.}}$ , αφού $\displaystyle{a>0}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=a^x}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , αφού $\displaystyle{a>1}$ , άρα από $\displaystyle{(2)}$ , έχουμε $\displaystyle{a^{\frac{1}{a}}}>a^{\frac{1}{a+1}} \Rightarrow \sqrt[a]{a}>\sqrt[a+1]{a} \; \; (3)$ .

Από $\displaystyle{(1),(3)}$ έχουμε το ζητούμενο, αφού $\displaystyle{\sqrt[a]{a+1}>\sqrt[a]{a}>\sqrt[a+1]{a}}$

KARKAR · #3

Πιο απλά : $\sqrt[a+1]{a}<\sqrt[a+1]{a+1}<\sqrt[a]{a+1}$

KARKAR · #4

Φίλε Βασίλη , ας μου επιτραπεί μια παρατήρηση - προτροπή : η σύγκριση των αριθμών π.χ. $\sqrt[7]{8}$ και $\sqrt[8]{7}$ , δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον για τον εξής λόγο :

Προφανώς : $\displaystyle \sqrt[7]{8}>\sqrt[7]{7} > \sqrt[8]{7}$ , δηλαδή οι μεταβολές που προτείνεις , έχουν και οι δύο το αποτέλεσμα να μειώνουν την παράσταση !

Θυμήσου το παροιμιώδες δίλλημα : Κάλλιο πλούσιος και υγιής , παρά φτωχός και άρρωστος ! Έτσι για παράδειγμα , αν θέλεις

να δώσεις θέμα σύγκρισης

κλασμάτων βάλε τα : $\displaystyle \frac{11}{13} , \frac{14}{17}$ , (η αύξηση του αριθμητή αυξάνει το κλάσμα , αλλά η αύξηση του παρονομαστή το μειώνει )

και όχι αυτά : $\displaystyle \frac{11}{17} , \frac{13}{15}$ , διότι και η αύξηση του αριθμητή και η μείωση του παρονομαστή αυξάνουν το κλάσμα , και η σύγκριση γίνεται προφανής

Συγκρισούλα 5

Συγκρισούλα 5

Re: Συγκρισούλα 5

Re: Συγκρισούλα 5

Re: Συγκρισούλα 5

Μέλη σε σύνδεση