Τριγωνομετρια

papel · #1

Να αποδειξετε οτι ενα τριγωνο ABC ειναι ορθογωνιο αν και μονο αν :

$\displaystyle{\displaystyle {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2}$

οπου sin ειναι το αντιστοιχο ημιτονο και A,B,C οι αντιστοιχες γωνιες.

(Την θυμαμαι απο ενα παλιο ελληνικο βιβλιο τριγωνομετριας την δεκαετια του 90)

Ιστοσελίδα · #2

Για την επίλυση της άσκησης χρήσιμη είναι η παρακάτω πρόταση:
ΠΡΟΤΑΣΗ
Αν Α, Β , C γωνίες τριγώνου τότε $\cos ^2 A + \cos ^2 B + \cos ^2 C + 2\cos A\cos B\cos C = 1$

AΠΟΔΕΙΞΗ
$A + B + C = \pi$ $\Leftrightarrow A + B = \pi - C$ επομένως
$\cos (A + B) = \cos (\pi - C) = - \cos C$
$\cos A\cos B - \sin A\sin B = - \cos C$
$\cos A\cos B + \cos C = \sin A\sin B$
Υψώνοντας και τα δύο μέλη της ισότητας στο τετράγωνο έχουμε:
$\cos ^2 A\cos ^2 B + \cos ^2 C + 2\cos A\cos B\cos C = \sin ^2 A\sin ^2 B$
$\cos ^2 A\cos ^2 B + \cos ^2 C + 2\cos A\cos B\cos C = (1 - \cos ^2 A)(1 - \cos ^2 B)$
Όπου με πράξεις στο Β μέλος προκύπτει
$\cos ^2 A + \cos ^2 B + \cos ^2 C + 2\cos A\cos B\cos C = 1$

Λύση της άσκησης
Η δοσμένη σχέση γράφεται:
$1 - \cos ^2 A + 1 - \cos ^2 B + 1 - \cos ^2 C = 2$
$\cos ^2 A + \cos ^2 B + \cos ^2 C = 1$
Αφού $A + B + C = \pi$ με βάση την παραπάνω πρόταση προκύπτει:
$\cos A\cos B\cos C = 0$ από όπου συνεπάγεται ότι:
$\cos A = 0$ ή $\cos B = 0$ ή $\cos C = 0$
Από όπου έχουμε ότι Α = 90 ή Β = 90 ή C = 90 δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ

1. Προέκταση της άσκησης: Αν οι γωνιές ενός τριγώνου ABC αποτελούν αριθμητική πρόοδο και συγχρόνως ισχύει η ισότητα $\sin ^2 A + \sin ^2 B + \sin ^2 C = 2$
Τότε οι πλευρές αυτού του τριγώνου είναι ανάλογες με τους αριθμούς $2,\sqrt 3 ,1$
2. Η άσκηση είναι από το ευαγγέλιο της δεκαετίας του 80 «Τριγωνομετρία Ιωάννη Πανάκη»

3. Κάτι δεν μου αρέσει σε αυτή την άσκηση !!!!

papel · #3

Δινω και την δικη μου λυση :

Υποθετουμε οτι η ισοτητα ισχυει .Τοτε

$\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} 0 = 2 - {\sin ^2}A - {\sin ^2}B - {\sin ^2}C \\ 0 = {\cos ^2}A + {\cos ^2}B - {\sin ^2}\left( {A + B} \right) \\ 0 = {\cos ^2}A + {\cos ^2}B - {\sin ^2}A \cdot {\cos ^2}B - 2\sin A\cos B\cos A\sin B - {\cos ^2}A{\sin ^2}B \\ 0 = 2{\cos ^2}A{\cos ^2}B - 2\sin A\sin B\cos A\cos B \\ 0 = 2\cos A\cos B\left( {\cos A\cos B - \sin A\sin B} \right) \\ 0 = 2\cos A\cos B\cos (A + B) \\ 0 = - 2\cos A\cos B\cos C \\ \end{array}}$

Απο οπου προκυπτει οτι ενα απο τα cosA , cosB , cosC θα ειναι 0 αρα το τριγωνο θα ειναι ορθογωνιο.

#4

Από το θεώρημα ημιτόνων στο ABC είναι a^2+b^2+c^2=8R^2

Αν Κ το αντιδιαμετρικό του Α στον περἰκυκλο από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΚ , ACK είναι BK^2=4R^2-c^2 , CK^2=4R^2-b^2

Από το θεώρημα συνημιτόνων στο BCK έχουμε $a^2= BK^2+ CK^2-2BK.CK.cos(\pi -A)$ δηλαδή a^2+b^2+c^2-8R^2=2BK.CK.cosA

Το ζητούμενο είναι πια προφανές

Χρήστος Λαζαρίδης · #5

Στην πολύ ωραία λύση του Ροδόλφου, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή Α, ενώ θα μπορούσε να ήταν στην Β ή στην Γ.
Αν $B = 90^{o}$ , τότε το αντιδιαμετρικό του Α είναι η κορυφή Γ, ενώ αν $\Gamma = 90^{o}$ , τότε το αντιδιαμετρικό του Α είναι η κορυφή Β.
Για λόγους πληρότητας και μόνο, νομίζω, επαναλαμβάνω νομίζω, ότι η απόδειξη πρέπει να συμπληρωθεί ως εξής:
Έστω $B = 90^{o}$ ή $\Gamma = 90^{o}$ , τότε το ΑΒΓ είναι προφανώς ορθογώνιο.
Έστω $B\neq 90^{o}$ και $\Gamma \neq 90^{o}$ , τότε θεωρούμε Κ το αντιδιαμετρικό του Α και συνεχίζουμε όπως ο Ροδόλφος.
Φιλικά Χρήστος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Αξίζει ακόμα να αναφερθεί ότι το θέμα αυτό ήταν ένα από τα 7 θέματα που πρότεινε η Ουγγαρία-χώρα με τεράστια παράδοση στη μαθηματική εκπαίδευση- στην Ι.Μ.Ο.1971.

Τριγωνομετρια

Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Μέλη σε σύνδεση