Τριγωνομετρία

GiannisL · #1

Να λυθεί το συστημα
$\begin{array}{l} \cos (x) + \cos (y) = \frac{3}{2} \\ (\frac{1}{{\sin (x)}} + \frac{1}{{\sin (y)}})\sin (y - x) = 2 \\ \end{array}$

μπορεί να βοηθησει κάποιος;

#2

Καλησπέρα!Γιάννη ειλικρινά τα έχω δοκιμάσει όλα,αλλά ακόμη ...αντιστέκεται!Τι ταυτότητες,τι αρμονικούς μέσους,τι ανισότητες....Τίποτα!Μετά απο όλα αυτά θα με ενδιέφερε πολύ η λύση της.
Αν κάποιος συνάδελφος την έχει καταφέρει,ας βοηθήσει.

GiannisL · #3

Χρήστο βρισκομαι στην ίδια θέση. Το συστημα μου το έδωσε καποιος συνάδελφος
και μετα απο τρεις μέρες δεν έχω καταφέρει τίποτα.

kiki · #4

και εγώ που πίστευα ότι είμαι καλή στην τριγωνομετρία!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ρώτα την λύση σε παρακαλώ!θα σκάσω!

#5

GiannisL έγραψε:Να λυθεί το συστημα
$\begin{array}{l} \cos (x) + \cos (y) = \frac{3}{2} \\ (\frac{1}{{\sin (x)}} + \frac{1}{{\sin (y)}})\sin (y - x) = 2 \\ \end{array}$

μπορεί να βοηθησει κάποιος;

Επειδή οι πράξεις είναι πολλές, φέρνω το σύστημα μέχρι ένα σημείο. Από κει και
πέρα είναι σχετικά απλό.

Η δεύτερη εξίσωση γράφεται

(sinx + siny)sin(x-y) = -2sinxsiny

άρα

$2sin \frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}.2sin \frac{x-y}{2}cos\frac{x-y}{2}= -2sinxsiny$ (*)

αλλά,

$2sin \frac{x+y}{2}sin \frac{x-y}{2}= -(cosx + cosy)$ (ούπς. Εκάνα λάθος το πρόσημο εδώ. Θέλει cosx - cosy. Θα το ξαναδώ αλλά για την ώρα άκυρον! Άλλη φορά να μην βιάζομαι. Συγνώμη σε όλους.)

οπότε η (*) γράφεται

$-2(cosx + cosy)cos^2 \frac{x-y}{2}= -2sinxsiny$

που με χρήση της πρώτης εξίσωσης δίνει

$-3cos^2 \frac{x-y}{2}= -2sinxsiny$ . (**)

Από εδώ, με την (**) δηλαδή και την πρώτη εξίσωση, μπορεί κανείς να συνεχίσει με διάφορους τρόπους. Μόνο ας γράψω ότι η εξης μορφή της πρώτης εξίσωσης είναι χρήσιμη:

$2cos \frac{x+y}{2}cos \frac{x-y}{2}= \frac{3}{2}$ .

Καλή συνέχεια.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Υστερόγραφο:Δεν έχω κάνει τις πράξεις μέχρι τέλους, αλλά
με πρώτη ματιά μου φαίνεται ότι το σύστημα έχει μιγαδικές ρίζες.

#6

Μιχάλη πάνω που ήθελα να ρωτήσω ποιές είναι οι λύσεις με πρόλαβες με το υστερόγραφο.
Γιατί χθες νύχτα κατανικώντας την απέχθεια μου για αυτές τις πράξεις και την κούραση μου έφθασα σε κάτι ανάλογο με το δικό στου αλλά δεν μπόρεσα να συνεχίσω. Και η τιμή $\frac{3}{2}$ για άθροισμα συνημιτόνων μου φάνηκε "κάπως". Ποιών γνωστών συνημιτόνων (όχι φυσικά

και $\frac{1}{2}$ ) είναι άθροισμα ο $\frac{3}{2}$ ;
Πάντως αν κάποιος έχει όλο το έργο θα ήμουν περίεργος να το δω.
Μαυρογιάννης

#7

Λίγο από περιέργεια λίγο χάριν παιδιάς δοκίμασα να δώ πως παριστάνει το Maple το σύγκεκριμένο σύστημα.
Εδώ για $-\pi \leq x\leq \pi$ , $-\pi \leq y\leq \pi$

Trig1.png

και εδώ για $-6\pi \leq x\leq 6\pi$ , $-6\pi \leq y\leq 6\pi$ (λόγω περιοδικότητας το σχέδιο καλύπτει όλο το επίπεδο)

Trig2.png

Από το διάγραμμα φαίνεται ότι μάλλον έχουμε κάποιες πραγματικές λύσεις. Τις μάθουμε δεν τις μάθουμε το διάγραμμα είναι όμορφο.
Αν υπήρχαν άνθρωποι πού όπως άλλοι λένε "τον καφέ" (σε όσους πίνουν) έλεγαν "το διάγραμμα" ίσως μας έλεγαν κάτι και για πεταλούδες.
Μαυρογιάννης

#8

Νομίζω πως είμαι πολύ τυχερός που είμαι μέλος του mathematica!Aπίστευτο χιούμορ κύριε Μαυρογιάννη...
Παράλληλα έχω κι ένα νευρικό γέλιο γιατί για το συγκεκριμένο πρέπει να κατανάλωσα 1/4 πακέτου πρόχειρων Α4.
Μιλάμε για μανία!

#9

nsmavrogiannis έγραψε:Αν υπήρχαν άνθρωποι πού όπως άλλοι λένε "τον καφέ" (σε όσους πίνουν) έλεγαν "το διάγραμμα" ίσως μας έλεγαν κάτι και για πεταλούδες.
Μαυρογιάννης

Νίκο,
προς Θεού, όχι άλλες πεταλούδες.....

Γιώργος Ρίζος

(Για όποιον δεν παρακολουθεί το mathematica τις τελευταίες μέρες, ας αναζητήσει το "πέταγμα της Πεταλούδας" του Νίκου Μαυρογιάννη. Θα καταλάβει τι σημαίνει "πεταλούδα"... )

GiannisL · #10

$\displaystyle{\begin{array}{l} osx + \cos y = \frac{3}{2} \\ \cos \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow (1 - \sin ^2 \frac{{x + y}}{2})(1 - \sin ^2 \frac{{x - y}}{2}) = \frac{9}{{16}} \\ \end{array}}$
Στη δευτερη ξισωση συνεχίοντας απο εκει που σταμάτησε ο Μιχάλης

$\displaystyle{\begin{array}{l} 2\sin \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\cos ^2 \frac{{x - y}}{2} = \cos (x + y) - \cos (x - y) \Rightarrow \\ 2\sin \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}(1 - \sin ^2 \frac{{x - y}}{2}) = (1 - 2\sin ^2 \frac{{x + y}}{2}) - (1 - 2\sin ^2 \frac{{x - y}}{2}) = \\ 2\sin ^2 \frac{{x - y}}{2} - 2\sin ^2 \frac{{x + y}}{2} \\ \end{array}}$
Θέτω $\displaystyle{\begin{array}{l} \sin \frac{{x + y}}{2} = a \\ \sin \frac{{x - y}}{2} = \beta \\ \end{array}}$

Οπότε το συστημα ισοδύναμα γράφεται

$\displaystyle{\begin{array}{l} \alpha \beta (1 - \beta ^2 ) = \beta ^2 - \alpha ^2 \\ (1 - \alpha ^2 )(1 - \beta ^2 ) = \frac{9}{{16}} \\ \end{array}}$

Μια γραφική λυση του συστήματος στο συνμμένο η πεταλούδα επαναλαμβάνεται
Οι αντοχές μου με την ασκηση έχουν ξαντληθεί

Καλυνυχτα

Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση