Εξίσωση 3ου βαθμού.

#1

Να λύσετε την εξίσωση:
$\displaystyle{\displaystyle 8x^3 - 6x + \sqrt 2 = 0 }$

papel · #2

Διαιρουμε με το 2 και προκυπτει η 4χ^3-3χ+1/(ριζα(2))=0.Η 1/(ριζα(2)) ειναι ριζα και επειδη ειναι τριτου βαθμου ευκολα
βρισκουμε και τις αλλες δυο.

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Με επιφύλαξη για τις πράξεις:
Διαιρούμε με ρίζα 2, οπότε προκύπτει η εξίσωση: $2(x\sqrt{2})^{3}-3(x\sqrt{2})+1=0$
Θέτουμε $y=x\sqrt{2}^$ οπότε έχουμε: $2y^{3}-3y+1=0\Leftrightarrow y=1,y=\frac{-1\pm \sqrt{2}}{2}$
Τελικά $x=\frac{\sqrt{2}}{2},x=\frac{-\sqrt{2}\pm 2}{4}$
Χρήστος

#4

Ωραίες λύσεις , ευχαριστώ πολύ!

k-ser · #5

Ένας διαφορετικός τρόπος: θέτοντας x=siny

και χρησιμοποιώντας τον τύπο sin3y=3siny-4sin^3y

.
Οι λύσεις:
$\displaystyle x=\sin{\left(\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}\right)}$ , $k\in \mathbb{Z}$
ή
$\displaystyle x=\sin{\left(\frac{2m\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}$ , $m\in \mathbb{Z}$ .
Όμως τα δύο παραπάνω σύνολα λύσεων συμπίπτουν. Η απόδειξη είναι εύκολη αρκεί να θεωρήσουμε m=-k+1

.
Έτσι, το σύνολο λύσεων είναι:
$\displaystyle x=\sin{\left(\frac{2m\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}$ , $m\in \mathbb{Z}$
Για m=3k

είναι: $\displaystyle x=\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Για m=3k+1

είναι: $\displaystyle x=\sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ .
Για m=3k+2

είναι: $\displaystyle x=\sin{\frac{19\pi}{12}}=-\cos{\frac{\pi}{12}}=-\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$ .

Υ.Γ.: Την ώρα που πληκτρολογώ και βλέποντας τις λύσεις του Χρήστου.... Κάποιος κάνει λάθος!

Χρήστος Λαζαρίδης · #6

Κώστα
Δεν έχω κουράγιο να βρώ ποιος κάνει λάθος. Έτσι και αλλιώς η λύση σου είναι παρα πολύ ωραία!
Φιλικά Χρήστος
Βλέποντας τα παρακάτω έχετε δίκιο. Εγώ έχω κάνει λάθος πράξεις.

#7

Νομίζω πως <<κέρδισε>> τελικά ο Κώστας!

k-ser · #8

Χρήστο, έχει κάνει λάθος τη διακρίνουσα... είναι 12 και όχι 8!

k-ser · #9

Μια διευκρίνηση, με αφορμή ερώτηση του Γιώργου (hsiodos).
Έχω δικαίωμα να θέσω x=siny

, εφόσον περιορίσω την εξίσωση στο [-1,1].
Βέβαια, αφού η εξίσωση μου δίνει 3 λύσεις στο [-1,1], δεν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αν έχει και λύσεις εκτός του περιορισμού του [-1,1].

#10

chris_gatos έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση:
$\displaystyle{\displaystyle 8x^3 - 6x + \sqrt 2 = 0 }$

Γεια Χαρά και καλές διακοπές (σε όσους τυχερούς)
Χρήστο εδώ είναι η γραφική επίλυση της εξίσωσης

babisg · #11

Πως θα μπορούσε να λυθεί και η εξίσωση
8x^3-6x-1=0 ;

mathxl · #12

Μπορείς να δείξεις με αάυση ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες στα (-οο,-1],[1,+οο), έπειτα θέτεις χ= συνα και καταλήγεις συν3α=1/2 κτλ. Δεν επέμεινα σε κάποιο αλγεβρικό τρόπο για να δείξω ότι είναι αδύνατη στα παραπάνω διαστήματα(τεμπέλιασα και όρισα συνάρτηση)

ΥΓ: Μπορείς να κάνεις και αυτό που λέει ο Κώστας παραπάνω. Δηλαδή να περιορίσεις την εξίσωση στο [-1,1], να βρεις τις λύσεις και έπειτα να δείξεις ότι είναι οι μοναδικές

#13

ΘΒ στο [0,1] και μονοτονία

: synarthsh.png (38.02 KiB) Προβλήθηκε 7626 φορές

πολύ μεγάλο βγήκε (ούτε πιερότος να ήταν)

Εξίσωση 3ου βαθμού.

Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Re: Εξίσωση 3ου βαθμού.

Μέλη σε σύνδεση