Υπάρχει συνάρτηση;

#1

Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ τέτοια ώστε $f(f(x))=1-x^{4};$

Dreamkiller · #2

Θα αποδείξω κάτι γενικότερο.
Έστω δύο συναρτήσεις $f,g: {A}\to {A}$ . Έστω

το σύνολο των σταθερών σημείων της

και

το σύνολο των σταθερών σημείων της gog

. Αν $|C|-|B| \geq 2$ , τότε δεν υπάρχει

τέτοια ώστε f(f(x))=g(x)

.

Παρατηρούμε ότι $B \subseteq C$ . Πράγματι, αν g(x)=x

για κάποιο $x \in B$ τότε, g(g(x))=g(x)=x

. Άρα λόγω της συνθήκης, υπάρχουν τουλάχιστον δύο $a,b \in C-B$ .
Ισχύει πως g(g(g(a)))=g(a)

άρα $g(a) \in C$ .
Αν g(a)=c

, όπου $c \in B$ τότε c=g(c)=g(g(a))=a

, άτοπο αφού $a \notin B$ . Αν g(a)=a

τότε $a \in B$ , άτοπο.
Άρα g(a)=b

και, λόγω συμμετρίας, g(b)=a

.

Παρατηρούμε τώρα ότι ισχύει $g(f(x))=f(g(x)) \forall x \in A$ .
Ως εκ τούτου, f(a)=f(g(g(a)))=g(f(g(a)))=g(g(f(a)))

άρα $f(a) \in C$ .
Αν f(a)=d

, όπου $d \in B$ , τότε b=g(a)=f(f(a))=f(d)=d

, άτοπο αφού $a \notin B$ .
Αν f(a)=a

τότε

, άτοπο αφού $a \notin B$ .
Άρα f(a)=b

. Τότε, όμως, f(b)=f(f(a))=g(a)=b

και άρα

, άτοπο αφού $b \notin B$ .

Άρα δεν υπάρχει συνάρτηση

με τη ζητούμενη ιδιότητα.