Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

parmenides51 · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί $\displaystyle{z,w}$ με $\displaystyle{z=iw}$ και $\displaystyle{|z|=1}$ .
(α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των $\displaystyle{w}$
(β) Να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{z,w}$

εως 1 Οκτώβρη 2011

Δημήτριος Κρικώνης · #2

α) 'Εχω

είναι ο μοναδιαίος κύκλος,όπως επίσης και ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

.

β) Λάθος λύση ( η μέγιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών

και

είναι η διάμετρος του κύκλου

ρ

και η ελάχιστη να ταυτίζονται δηλαδή

.)Λάθος λύση

η απόσταση των εικόνων του

και

είναι $\left|z-w \right|z=iw\Leftrightarrow z-w=iw-w$ τότε $\left|z-w \right|=\left|iw-w \right|\Leftrightarrow \left|z-w \right|=\left|w \right|\left|i-1 \right|\Leftrightarrow \left|z-w \right|=\sqrt{2}$
που σημαίνει πως η απόσταση τους ειναι σταθερή και ίση με $\sqrt{2}$ .

parmenides51 · #3

Βρήκες την παγίδα στο 2ο.

Δημήτριος Κρικώνης έγραψε:α) 'Εχω και $\left|z \right|=1$ , τότε και $\left\left|z \right| \right=\left|iw \right|\Leftrightarrow 1=\left|i \right|\left|w \right|\Leftrightarrow \left|w \right|=1$

Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο μοναδιαίος κύκλος,όπως επίσης και ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του .

Στο 1ο η λύση σου δεν είναι σωστή μολονότι το αποτέλεσμα που βρίσκεις είναι σωστό
γιατί ίσοι μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα ενώ ίσα μέτρα δεν έχουν μόνο οι ίσοι μιγαδικοί,
με άλλα λόγια όταν βάζεις μέτρα σε ισότητα μιγαδικών έχεις απώλεια σε δεδομένα (αφού ισχύει μονή συνεπαγωγή).
Ναι μεν απέδειξες ότι όλες οι εικόνες των ζητούμενων μιγαδικών βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο
αλλά δεν απέδειξες ότι όλα τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου είναι και εικόνες των ζητούμενων μιγαδικών.

Δοκίμασε με άλλο τρόπο καλύτερα, χωρίς μέτρα.

Δημήτριος Κρικώνης · #4

Kαταλαβαίνω αυτο που λέτε αλλά η εκφώνηση του ερωτήματος είναι (α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w.Εγώ απέδειξα ότι οι εικονες του μιγαδικού w βρίσκονται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο που σημαίνει πως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων (όποιες και όσες ειναι αυτές) είναι ο μοναδιαίος κύκλος .Για ποιόν λόγο να αποδείξω και το αντίστροφο δηλαδή ότι όλα τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου ειναι και εικόνες του w ; μιας και δεν μου ζητάει κατι τέτοιο το πρόβλημα.

Ευχαριστώ για την παρατήρηση,και εξηγήστε μου τον ενδοιασμό σας.

Δημήτρης Κρικώνης

parmenides51 · #5

Εσύ βρήκες βάζοντας μέτρα και στα δυο μέλη, το ευρύτερο σύνολο στο οποίο κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών (ευθύ), δεν βρήκες τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων τους (ευθύ κι αντίστροφο).
Σου θυμίζω από Γεωμετρία γεωμετρικός τόπος (του επιπέδου) ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που έχουν μια συγκεκριμένη κοινή ιδιότητα (και την κοινή ιδιότητα αυτή την έχουν μόνο αυτά).
πχ. Τα τετράγωνα είναι παραλληλόγραμμα με κάθετες διαγώνιους αλλά τα παραλληλόγραμμα με κάθετες διαγώνιους δεν είναι τετράπλευρα. Ισχύει μόνο το ευθύ κι όχι το αντίστροφο.
Ο λόγος που ενδεχομένως δεν είναι προφανές το απαιτούμενο αντίστροφο είναι γιατί στην προκειμένη περίπτωση το αποτέλεσμα που βρίσκεις είναι ορθό, η μέθοδος δεν είναι σωστή.
Σου υπέδειξα να το λύσεις χωρίς μέτρα για να αποφύγεις την (πραγματική) δυσκολία εξέτασης του αντιστρόφου.

Ας δοκιμάσω να λύσω σαν εσένα μια παρόμοια άσκηση για να φανεί καλύτερα τι εννοώ.

$\bullet$ Δίνονται οι μιγαδικοί $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{z^{2}=1}$
Να βρεθούν οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.

Προφανώς οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί $\displaystyle{\pm 1}$ .

Ας υποθέσουμε τώρα ότι εσύ από μόνος σου αναζητάς τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των $\displaystyle{z}$ (*).
Τότε αντιγράφοντας λέξη προς λέξη την παραπάνω σου συλλογιστική θα έγραφες:

Έχω $z^{2}=1$ τότε και $\left|z^{2} \right|=\left|1\right|\Leftrightarrow \left|z\right|^{2} =1 \Leftrightarrow \left|z \right|=1$
Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

Δύο σημεία όμως προφανώς δεν είναι ολόκληρος ο μοναδιαίος κύκλος .
Άρα έτσι δεν βρίσκεις γεωμετρικό τόπο.
Το πρόβλημα δημιουργείται λόγω της μονής συνεπαγωγής στην σχέση $\displaystyle{a=b \Rightarrow \left|a\right|= \left|b\right|}$ .
Γι' αυτό και δοκίμασε να το λύσεις το (α) ερώτημα χωρίς μέτρα.

(*) Το παρόν ερώτημα είναι λάθος, δηλαδή δεν πρόκειται να ζητηθεί με την συγκεκριμένη διατύπωση όπως φαίνεται κι εδώ .
απλά εξυπηρετεί το συγκεκριμένο αντιπαράδειγμα.

edit: Λύνεται και με μέτρα διαφορετικά.

Δημήτριος Κρικώνης · #6

Διάβασα αυτό που μου γράψατε και πρέπει να έχετε δίκιο.

Μια λύση χωρίς μέτρα. απο την υπόθεση ότι $\left|z \right|=1$ έχουμε ότι οι εικόνες του

επαληθεύουν την εξίσωση $x^{2}+y^{2}=1$ (1)

ακόμη ισχύει z=iw

.

Θέτω

και

με

$\in$

.

και έχω $a+bi=i(x+yi)\Leftrightarrow a+bi=xi-y$ πρέπει απο την ισότητα των μιγαδικών

a=-y

και

.'Ομως τα

ανήκουν στην (1)

αρα έχω $x^{2}+(-y)^{2}=1\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$ .Συνεπώς ο γεωμετρικος τόπος των εικόνων των w είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

(σε αυτήν την λύση ισχύει και το εύθυ και το αντίστροφο λόγω της ισότητας των μιγαδικών).

parmenides51 · #7

Σωστός,
μια καλύτερη διατύπωση θα ήταν στην τελευταία σειρά να έγραφες
αντί για το
'Ομως τα a,b

ανήκουν στην (1)

αρα έχω $x^{2}+(-y)^{2}=1\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$ .
Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w είναι ο μοναδιαίος κύκλος.
το εξής
'Ομως τα a,b

ανήκουν στην (1)

αρα έχω $a^{2}+(-b)^{2}=1\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=1$ .
Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

Μια άλλη λύση με μέτρα (που είδα εκ των υστέρων) είναι η εξής:

$\displaystyle{1=|z|=|iw|=|i|\cdot|w|=1\cdot|w|=|w|}$
άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

Με διαφορετικά λόγια η δική σου λύση (που όντως μοιάζει με την παραπάνω) δεν ίσχυε,
γιατί υπονοούσε το σημείο $\displaystyle{zw=1 \Rightarrow |zw|=|1|=1}$ .

Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

Re: Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛΚΑΤ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

Re: Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

Re: Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

Re: Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

Re: Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

Re: Ελάχιστη μέγιστη απόσταση (ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ)

Μέλη σε σύνδεση