1-1 και επί

#1

Η $f:[0,+\infty) \to [0,+\infty)$ είναι μία συνάρτηση συνεχής, που δεν είναι σταθερά μηδέν.

Αν $f(f(x))=(x^2+x+1)f(x), \ \forall x \ge 0$ , να αποδειχθεί ότι η

είναι 1-1 και επί.

peter · #2

Θέτουμε

και βρίσκουμε f(f(0))=f(0)

. Θέτουμε

και βρίσκουμε ότι f(0)=(1+f(0)+f(0)^2)f(0)

, απ' όπου έπεται ότι f(0)=0

.

H είναι επί: Yπάρχει x_0>0

ώστε

. Ορίζουμε τις διαδοχικές προσεγγίσεις $x_n=f(x_{n-1})$ και επαγωγικά βρίσκουμε ότι f(x_n)=(1+x_0+x_0^2)^nx_1

για $n=1,2,\dots$ . Άρα, $f(x_n)\to \infty$ . Αυτό μαζί με τη συνέχεια της

και το

δίνει το επί.

Η είναι 1-1: Αν f(a)=0

για κάποιο a>0

από το επί, υπάρχει $b\in (0,a)$ ώστε f(b)=a

. Τότε, για x=b

προκύπτει ότι 0=(1+b+b^2)a

, άρα

. Αυτό μας λέει ότι αρκεί να εξετάσουμε το 1-1 στην περίπτωση όπου f(x_1)=f(x_2)>0

. Τότε, εύκολα βρίσκουμε ότι x_1=x_2

.

Σχόλιο. Η

είναι γνησίως αύξουσα.

Να δοθεί παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.

#3

Για

είναι

και για

έχουμε

Έστω

Για

είναι $a=a(a^2+a+1)\implies a=0,$ άτοπο.

Άρα $f(x)\ne x \ \forall x>0.$

Αν $f(x)< x \ \forall x>0$ τότε $f(x)\leq x \forall x ,$ οπότε $f(f(x))\leq f(x)$ ή $f(x)(x^2+x)\leq 0,$ συνεπώς $f\equiv 0,$ άτοπο.

Άρα $f(x)>x>0, \ \forall x>0.$

Αν $f(x_1)=f(x_2)>0 \implies x_1=x_2$ ενώ αν $f(x_1)=f(x_2)=0 \implies x_1=x_2=0.$

Άρα η

είναι 1-1.

Επίσης, $\lim_{x \to \infty}=+\infty$ οπότε είναι και επί.

Η

είναι γν. μονότονη ως 1-1 και συνεχής, οπότε αφού $\lim_{x \to \infty}=+\infty$ είναι γν. αύξουσα.

Παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης: f(x)=x^2+x

1-1 και επί

1-1 και επί

Re: 1-1 και επί

Re: 1-1 και επί

Μέλη σε σύνδεση