Ο κυκλος και τα κουτακια(Β-ΚΑΤ)

papel · #1

Εχουμε ενα κυκλο εγγεγραμενο σε τετραγωνο πλευρας α.Πως μπορω να βρω τις συντεταγμενες (x,y) των
σημειων 1,2,3,4,5,6 οπως φαινεται στο παρακατω σχημα.
(Υποψη τα τετραγωνακια στο σχημα εχουν την ιδια ακμη και το ιδιο εμβαδο.
Προσοχη οι αριθμοι 1,2,3,4,5,6 χρησιμοποιουνται μονο για την δηλωση των σημειων
και δεν εχουν σχεση με τις συντεταγμενες.)

Μεχρι τις 12 Ιουλιου Β Λυκειου Μαθηματικα Κατευθυνσης

Ωmega Man · #2

Ποια αρχή αξόνων θα πάρουνε;Το κέντρο του κύκλου;

papel · #3

Μερικες υποδειξεις για το προβλημα :

1)Πρωτα σαν αρχη των αξονων μπορει να ληφθει το σημειο που ξεκιναει η μεση γραμμη (2-->1).
2)Εκφραστε τον κυκλο και τις αντιστοιχες ευθειες που περνανε απο τα σημεια.
3)Χρησιμοποιηστε τα κουτακια για μετρηση

papel · #4

Απαντηση στην Ασκηση:

Για να βρεθουν οι συντεταγμενες των σημειων 1,2,3,4,5,6 θα πρεπει να βρουμε δυο εξισωσεις
α)Του κυκλου
β) Τις ευθειες που περνανε απο τα σημεια.

Στην συνεχεια λυνοντας το συστημα προσδιοριζουμε τις εξισωσεις των σημειων.

Θεωρωντας σαν αρχη των αξονων το κατω αριστερο ακρο δηλαδη την αρχη του ευθυγραμμου τμηματος
που περναει απο τα σημεια (2),(1) η εξισωση του κυκλου ειναι :

$\displaystyle{\displaystyle {\left( {x - \frac{\alpha }{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{a}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}}$

Η ευθεια που περναει απο τα σημεια (3),(4) (χρησιμοποιηστε τα κουτακια για μετρηση, το α ειναι γνωστο)

$\displaystyle{\displaystyle y = x + \frac{a}{6}}$ .

Αντικαθιστωντας την τελευταια εξισωση στην εξισωση του κυκλου προσδιοριζονται οι συντεταγμενες
των σημειων (3),(4).

Ομοια εργαζομαστε και για τα υπολοιπα 4 σημεια.

#5

: tetragono 03.png (26.45 KiB) Προβλήθηκε 1448 φορές

Θεωρώντας ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων το κέντρο του κύκλου (και σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου), η εξίσωση του κύκλου είναι:
$\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{{a^2 }}{4}$ , με α > 0.
Η ευθεία που περνά από τα (1), (2) είναι η y = x.
Πράγματι, η ευθεία αυτή είναι η διαγώνιος του τετραγώνου, άρα έχει κλίση ίση με εφ45° = 1 και διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ΣΧΟΛΙΟ: Αυτό, ο μαθητής-λύτης, οφείλει να το τεκμηριώσει.

Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους.
Τα σημεία (1), (2) έχουν συντεταγμένες: $\displaystyle\left( 1 \right):\;\;\left( {\frac{a}{{\sqrt 8 }},\;\frac{a}{{\sqrt 8 }}} \right),\;\;\left( 2 \right):\;\;\left( { - \frac{a}{{\sqrt 8 }}, - \;\frac{a}{{\sqrt 8 }}} \right)$
Η ευθεία που περνά από τα (3), (4) είναι η y = x + α/6.
Από την επίλυση του συστήματος των δύο εξισώσεων προκύπτει:
18x² + 3αx -2α² = 0, οπότε: $\displaystyle x = \frac{{ - 3a \pm \sqrt {153} a}}{{36}}$ .
Τα σημεία (3), (4) έχουν συντεταγμένες: $\displaystyle\left( 3 \right):\;\;\left( {\frac{{\left( { - 3 + \sqrt {153} } \right)a}}{{36}},\;\frac{{\left( {3 + \sqrt {153} } \right)a}}{{36}}} \right),\;\;\left( 4 \right):\;\;\left( {\frac{{\left( { - 3 - \sqrt {153} } \right)a}}{{36}},\;\frac{{\left( {3 - \sqrt {153} } \right)a}}{{36}}} \right)$ .

Η ευθεία που περνά από τα (5), (6) είναι η y = x - α/6.
Ομοίως, προκύπτει:
$\displaystyle\left( 5 \right):\;\;\left( {\frac{{\left( {3 + \sqrt {153} } \right)a}}{{36}},\;\frac{{\left( { - 3 + \sqrt {153} } \right)a}}{{36}}} \right),\;\;\left( 6 \right):\;\;\left( {\frac{{\left( {3 - \sqrt {153} } \right)a}}{{36}},\;\frac{{\left( { - 3 - \sqrt {153} } \right)a}}{{36}}} \right)$ .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα σημεία (3), (6) και τα σημεία (4), (5) είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων.

Γιώργος Ρίζος

Ο κυκλος και τα κουτακια(Β-ΚΑΤ)

Ο κυκλος και τα κουτακια(Β-ΚΑΤ)

Re: Ο κυκλος και τα κουτακια

Re: Ο κυκλος και τα κουτακια

Re: Ο κυκλος και τα κουτακια

Re: Ο κυκλος και τα κουτακια

Μέλη σε σύνδεση