Διαφορι-Κούλα 57

mathxl · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ με $\displaystyle{f\left( 1 \right) = - 2,f'\left( 1 \right) = 1}$ και τέτοια ώστε για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ να ισχύει $\displaystyle{xf''\left( x \right) - f'\left( x \right)\ln \frac{{f'\left( x \right)}}{x} = 0}$ .Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$

GMANS · #2

Είναι

Η δοσμένη γράφεται

$x\frac{f''(x)}{f '(x)}-ln(f ' (x))=-lnx\Rightarrow$

$\frac{x(ln(f ' (x))'-ln(f ' (x))}{x^2}=-\frac{lnx}{x^2}\Rightarrow$

$(\frac{ln(f ' (x))}{x})'=(\frac{1+lnx}{x})'$

Επομένως υπάρχει σταθερά $c\epsilon R$ ώστε

$\frac{ln(f ' (x))}{x}=\frac{1+lnx}{x}+c (1)$
Για x=1 η (1) δίνει c=-1 άρα

$f(x)=\int xe^1^-^xdx=\int x(-e^1^-^x)'dx=-xe^1^-^x+\int e^1^-^xdx=-xe^1^-^x- e^1^-^x+c_1$

και f(1)=-2 οπότε

f(x) =-(x+1)e^1^-^x

που επαληθεύει την δοσμένη

mathxl · #3

Γιώργο ευχαριστώ! Έχω ίδια λύση εκτός την χρήση αορίστου ολοκληρώματος

#4

Θέτω (σχεδόν όπως πάντα) $\displaystyle{h(x)=\frac{f'(x)}{x},x>0}$ [1]

Τότε από την [1] έχω $\displaystyle{xf''(x)=x^2h'(x)+xh(x)}$ και με αντικατάσταση στην δοσμένη είναι

$\displaystyle{x^2h'(x)+xh(x)-xh(x)lnh(x)=0\Leftrightarrow x(\frac{h'(x)}{h(x)}-(ln(h(x))-1)=0}$ [2] οπότε ξαναθέτω

$\displaystyle{g(x)=(ln(h(x))-1)}$ . η [2] γίνεται $\displaystyle{xg'(x)-g(x)=0,x>0\Leftrightarrow (\frac{g(x)}{x})'=0,x>0\Leftrightarrow g(x)=cx,x>0\Leftrightarrow h(x)=e^{1+cx}\Leftrightarrow f'(x)=xe^{1+cx},x>0}$

άρα $\displaystyle{f(x)=\frac{e^{1 + c x} (-1 + c x)}{c^2}+K}$ με $\displaystyle{f'(1)=1\Rightarrow c=-1,f(1)=-2\Rightarrow k=0}$

Τελικά $\displaystyle{f(x)=-(1+x)e^{1-x}x>0}$

Διαφορι-Κούλα 57

Διαφορι-Κούλα 57

Re: Διαφορι-Κούλα 57

Re: Διαφορι-Κούλα 57

Re: Διαφορι-Κούλα 57

Μέλη σε σύνδεση