Συναρτησιακή στους ρητούς

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x-y)+f(x+y)=f(x)+f(y)+f(f(x)-f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}.$

Παναγιώτης 1729 · #2

Μία λύση στην υπέροχη αυτή άσκηση, η οποία έχει κάπως μη αναμενόμενο αποτέλεσμα (θα ήταν καλό αν γίνονταν κι άλλες παρεμβάσεις):

Για x=y=0

παίρνω

. Για

παίρνω

(*). Για

τα

αντίστοιχα έχω: f(f(x)+f(y))=f(x)+f(y)

(1).
Για x=y

παίρνω

και επαγωγικά έχω ότι για κάθε θετικό ακέραιο

,

. Από εδώ εύκολα προκύπτει f(x)=xf(1)

για $x\geq{0}$ .
Aπό την (*) για $x\geq{0}$ έχω f(1)=0

ή

.

Για , για $x\geq{0}$ . Για $x\geq{0}$ έχω (λόγω της (1)). Αν, λοιπόν, ρητός με $z\geq{f(y)}$ για κάποιο , τότε . Αν η f δεν είναι κάτω φραγμένη, . Διαφορετικά έστω το μεγαλύτερο κάτω φράγμα της . Αν , τότε επιλέγουμε τους ώστε , και η (1) δίνει: , άτοπο. Αν $M\geq{0}$ , για η αρχική δίνει $f(x)-f(-x)=f(f(x)-f(-x))\geq{0}$ . Άρα, $f(x)\geq{f(-x)}$ . Για το από την τελευταία προκύπτει . Αν δεν μου ξεφεύγει κάτι όλες οι λύσεις είναι δεκτές.