όριο $ tanx^x$

KapioPulsar · #1

Να βρεθεί το όριο :
$\displaystyle{lim_{x \to 0} x^{tanx}}$

#2

KapioPulsar έγραψε:Να βρεθεί το όριο :
$\displaystyle{lim_{x \to 0} x^{tanx}}$

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^{\varepsilon \phi x} \mathop = \limits^{x \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } e^{\varepsilon \phi x \cdot \ln x} }$

Θέτουμε: $\displaystyle{ u = \varepsilon \phi x \cdot \ln x = \frac{{\eta \mu x}} {{\sigma \upsilon \nu x}} \cdot \ln x = \frac{1} {{\sigma \upsilon \nu x}} \cdot \eta \mu x \cdot \ln x = \frac{1} {{\sigma \upsilon \nu x}} \cdot \frac{{\eta \mu x}} {x} \cdot \left( {x\ln x} \right) = \frac{1} {{\sigma \upsilon \nu x}} \cdot \frac{{\eta \mu x}} {x} \cdot \frac{{\ln x}} {{\frac{1} {x}}} }$ οπότε:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{1} {{\sigma \upsilon \nu x}} = \frac{1} {{\sigma \upsilon \nu 0}} = \frac{1} {1} = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{\eta \mu x}} {x} = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{\ln x}} {{\frac{1} {x}}}\mathop = \limits^{\frac{{ - \infty }} {{ + \infty }} \to De\;L'Hospital} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{\left( {\ln x} \right)^\prime }} {{\left( {\frac{1} {x}} \right)^\prime }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{\frac{1} {x}}} {{ - \frac{1} {{x^2 }}}} = \ldots \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \left( { - x} \right) = 0 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } u = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } e^{\varepsilon \phi x \cdot \ln x} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0^ + } e^u = e^0 = 1 \Rightarrow \ldots \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^{\varepsilon \phi x} = 1} }$

Στάθης

#3

KapioPulsar έγραψε:Να βρεθεί το όριο :
$\displaystyle{lim_{x \to 0} x^{tanx}}$

Λίγο αλλιώς:

(το κάνω για πλευρικό όριο στο

για να έχει νόημα η παράσταση)

Θεωρούμε γνωστό ότι $\displaystyle{\lim_{x \to 0} x^{x}} = 1, \, (*)$ (βγαίνει από l' Hospital στην $x\ln x$ ).

Τώρα, η $0\le x \le \tan x , \, \, x>0$ δίνει $x^x \le x ^ {\tan x} \le (\tan x)^{\tan x}$ . Παίρνουμε όριο στο

οπότε, μαζί με την $\displaystyle{\lim_{x \to 0+} \tan x }=0$ , η (*)

δίνει $\displaystyle{\lim_{x \to 0+} x^x = \displaystyle{\lim_{x \to 0+} (\tan x)^{\tan x}=1$ . Έπεται από ισοσυγκλίνουσες οτι το ζητούμενο όριο ισούται με

.

Φιλικά,

Μιχάλης

όριο $ tanx^x$

όριο $ tanx^x$

Re: όριο $ tanx^x$

Re: όριο $ tanx^x$

Μέλη σε σύνδεση