Εξίσωση με μιγαδικούς!

#1

Ας είναι $\displaystyle{a,b \in \mathbb{C}^*.}$ Να αποδειχθεί, ότι η εξίσωση

$\displaystyle{az^3+bz^2+\bar{b}z+\bar{a}=0}$

έχει τουλάχιστον μία ρίζα μέτρου $\displaystyle{1.}$

#2

Έστω

μια ρίζα του πολυωνύμου. Παρατηρώ ότι και το $1/\bar{z}$ είναι επίσης ρίζα. Αν |z| = 1

τελειώσαμε. Αν όχι τότε τα $z,1/\bar{z}$ είναι διαφορετικά και επειδή το γινόμενο των τριών ριζών ισούται με $-\bar{a}/a$ τότε η τρίτη ρίζα (από Vieta) θα ισούται με $\displaystyle{-\frac{\bar{a}\bar{z}}{az}}$ και άρα θα έχει μέτρο 1.

Εξίσωση με μιγαδικούς!

Εξίσωση με μιγαδικούς!

Re: Εξίσωση με μιγαδικούς!

Μέλη σε σύνδεση