Ομαδάρα!

#1

Έστω

μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με μια πράξη

έτσι ώστε να ισχύουν:
α) Υπάρχει $e\in M$ τέτοιο ώστε e*x=x,

για κάθε $x\in M$
β) (x*y)*(z*y)=x*z,

για κάθε $x,y,z \in M.$

Να δείξετε ότι το (M,*)

αποτελεί αβελιανή ομάδα.

Nick1990 · #2

socrates έγραψε:Έστω μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με μια πράξη έτσι ώστε να ισχύουν:
α) Υπάρχει $e\in M$ τέτοιο ώστε για κάθε $x\in M$
β) για κάθε $x,y,z \in M.$

Να δείξετε ότι το αποτελεί αβελιανή ομάδα.

1) Για

παίρνουμε $y*y = e \forall y \in M$

2) Για x=y

παίρνουμε

και η πράξη είναι αντιμεταθετική.

3) Από τα παραπάνω έχουμε ότι το e λειτουργεί ως δεξιό αλλά και ως αριστερό ταυτοτικό στοιχείο, ενώ κάθε στοιχείο έχει δεξιό και αριστερό αντίστροφο τον εαυτό του.

4) Η πράξη είναι προσεταιριστική. Πράγματι για z=e

στην αρχική θα πάρουμε $(x*y)*y = x \forall x,y \in M$ . Θέτουμε τώρα $y = w, z = (w*t), w,t \in M$
και παίρνουμε:
$x*(w*t) = (x*w)*((w*t)*w) = (x*w)*((t*w)*w) = (x*w)*t \forall x,w,t \in M$
δηλαδή η πράξη είναι και προσεταιριστική.

Ελπίζω να μη χάνω κάτι.

Ομαδάρα!

Ομαδάρα!

Re: Ομαδάρα!

Μέλη σε σύνδεση