Απορία2

Χάρης1 · #1

Γεία χαρά στην παρέα του

'Εχω κάποιες ερωτήσεις
$M_{mxn}(R)$
1)Ορίσαμε σαν χώρο των στήλων το σύνολο $R(A)=\left\{Ax=b \vee x\epsilon R^n \right\}$
Τι σχέση μπόρει να έχει οι ρίζες του μη-ομογενούς συστήματος με τον χώρο των στήλων?
Μπόρει να γίνει ένα επεξηγηματικό παράδειγμα έτσι ώστε να ξεμπλοκάρω?
2)Το σύνολο του μηδενοχώρου θα αποτελείται είτε απο το 0 στοιχείο ΜΟΝΟ,ειτε θα έχει άπειρες λύσεις ετσι?
Φιλικά,Χάρης

#2

Για το (1) μια διόρθωση πρώτα. Ο χώρος των στηλών είναι ο $R(A) = \{Ax : x \in \mathbb{R}^n\}$ . (Αυτό που έγραψες δεν βγάζει νόημα.)

Έχεις τώρα ένα (όχι απαραίτητα) ομογενές σύστημα της μορφής Ax = b

του οποίου πρέπει να βρεις τις λύσεις. Από τον ορισμό του R(A)

το σύστημα έχει λύση αν και μόνο αν $b \in R(A)$ . Αν μάλιστα το

είναι μια λύση του συστήματος τότε το σύνολο των λύσεων είναι το $\{x+k:k\in K\}$ όπου

είναι ο πυρήνας (μηδενοχώρος) του

. Μπορείς να το αποδείξεις;

2) Σωστά. Απόδειξη;

Χάρης1 · #3

1)Ακόμα δυσκολέυομαι να καταλάβω το σύνολο R(A),από τι αποτελείται.Δίνετε π.χ ένας τυχαίος πίνακα.Στον μηδενοχώρο μπόρω να λύσω το σύστημα.Στον χώρο τον στηλών τη θα λύσω,αφού τα

είναι άγνωστα.Μπορείται να κάνετε ένα παράδειγμα όπου να ζητείται να βρεθεί ο R(A)

2)Θα δείξω οτι το σύστημα Ax=0

αν έχει λύσεις εκτός της μηδενικής τότε αυτές είναι άπειρες.'Εστω χ1,χ2 με Ax1=0

και

'Εχω $\lambda Ax1=0\Rightarrow A(\lambda x1)=0$ (1)
$\lambda Ax2=0\Rightarrow A(\lambda x1)=0$ (2)
Προσθέτοντας (1) και (2) $A(\lambda(x1+x2))=0$ άρα και $xk=(\lambda(x1+x2)$ ρίζα της εξίσωσης.'Ομως λ κινείται στο R άρα οι ρίζες άπειρες
Εικασία:Αν το σύστημα Ax=b

έχει δύο ρίζες τότε είναι αυτές είναι άπειρες?

dimitrisbaltas · #4

Να βοηθήσω και εγώ λίγο τον φίλο μας τον Χάρη με την απόδειξη του πρώτου:
Έστω Ax=b

ένα σύστημα και $x_{o}$ μια λύση αυτού. Έστω επίσης το σύνολο $x_{o}+K =$ $\{x_{o} +k: k\in K\}$ όπου το Κ ο πυρήνας του Α.
Τότε συμβαίνουν τα εξής: Κάθε στοιχείο $x_{o}+k$ αποτελεί λύση του Ax=b

διότι $A(x_{o}+k)=Ax_{o}+Ak=b+0=b$
Επίσης αν

είναι μία λύση του Ax=b

τότε $x-x_{o}$ είναι λύση του ομογενούς γιατί $A(x-x_{o})=Ax-Ax_{o}=b-b=0$
Συνεπώς $x-x_{o}=k\in K$ και $x=x_{o}+k\in x_{0}+K$

dimitrisbaltas · #5

Τώρα σε σχέση με το πρώτο σου ερώτημα πιστεύω ότι δεν έχεις κατανοήσει τι είναι ο χώρος των στηλών επειδή δεν έχεις καταλάβει τον ορισμό. Με όλο τον σεβασμό και στον συνάδελφο Δημήτρη που σε διόρθωσε για το πρώτο σου μήνυμα ο ορισμός δεν έχει δωθεί με ακρίβεια.
Έχουμε λοιπόν ότι $R(A)=\{b\in R^{m}:Ax=b, x\in R^{n}\}$ και είναι υπόχωρος του χώρου $R^{m}$ (αναφερόμαστε σε πίνακα m*n

). Να προσθέσω ότι η διάσταση αυτού του χώρου "μετράει" το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητα στηλών του πίνακα

.

styt_geia · #6

Ένα παράδειγμα:

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2\end{pmatrix}$ . Τότε $R(A)=\left\{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}|\,\,x_1,\,x_2\in\mathbb{R}\right\}= \left\{x_1\begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}+ x_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}|\,\,x_1,\,x_2\in\mathbb{R}\right\}$ . Με άλλα λόγια είναι ο υπόχωρος του $\mathbb{R}^{2}$ που παράγεται από τις στήλες του

Χάρης1 · #7

Σας ευχαρίστω πολύ όλους.
Πίστευω με αυτην την άσκηση θα καταλάβω πιο ικανοποιητικά
Να βρέιτε όλους τους $2\times 2$ πίνακες για τους οποίους ισχύει R(A)=N(A)

.
H άσκηση είναι από τις σημειώσεις του Χρήστου Κουρουνιώτη
Πώς να την ξεκινήσω?

#8

Χάρης1 έγραψε:Σας ευχαρίστω πολύ όλους.
Πίστευω με αυτην την άσκηση θα καταλάβω πιο ικανοποιητικά
Να βρέιτε όλους τους $2\times 2$ πίνακες για τους οποίους ισχύει .
H άσκηση είναι από τις σημειώσεις του Χρήστου Κουρουνιώτη
Πώς να την ξεκινήσω?

Για να μπορέσουμε να σε βοηθήσουμε θα πρέπει να μας πεις πως ορίσατε το N(A)

διότι ο συμβολισμός δεν είναι συνηθισμένος. (Τουλάχιστον εγώ δεν θυμάμαι να έχω δει τον συμβολισμό. Το ίδιο και για το R(A)

αλλά εκεί μας είπες πως πρόκειται για τον χώρο των στηλών οπότε κατάλαβα τι εννοούσες.)

#9

Χάρης1 έγραψε: 2)Θα δείξω οτι το σύστημα αν έχει λύσεις εκτός της μηδενικής τότε αυτές είναι άπειρες.'Εστω χ1,χ2 με και
'Εχω $\lambda Ax1=0\Rightarrow A(\lambda x1)=0$ (1)
$\lambda Ax2=0\Rightarrow A(\lambda x1)=0$ (2)
Προσθέτοντας (1) και (2) $A(\lambda(x1+x2))=0$ άρα και $xk=(\lambda(x1+x2)$ ρίζα της εξίσωσης.'Ομως λ κινείται στο R άρα οι ρίζες άπειρες
Εικασία:Αν το σύστημα έχει δύο ρίζες τότε είναι αυτές είναι άπειρες?

Ακόμη και μια λύση να έχει εκτός της μηδενικής τότε έχει άπειρες λύσεις. Η απάντηση είναι ουσιαστικά αυτή που έγραψες. (Αν και διακρίνω μια δυσκολία στο να γράψεις κάτω την λύση.) Αν το

είναι μια λύση τότε Ax = 0

, άρα $A(\lambda x) = \lambda(Ax) = 0$ για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ και άρα και το $\lambda x$ είναι επίσης λύση. Όμως αν $x \neq 0$ τότε $\lambda x \neq \mu x$ για $\lambda \neq \mu$ και άρα έχουμε άπειρες λύσεις.

Η εικασία σου είναι σωστή. Να σε αφήσουμε να το αποδείξεις; Δεν διαφέρει και πολύ από την λύση που έχεις δώσει για την περίπτωση b=0

.

Χάρης1 · #10

το

είναι ο μηδενοχώρος

Χάρης1 · #11

Βρήκα έναν πιο σύντομο δρόμο
Θα δέιξω οτι αν ένα μη ομογενές σύστημα δεν έχει μοναδίκη λύση τότε έχει άπειρες
έυκολα βλέπω ότι η τυχαία x_k=kx_1-(k-1)x_2

επαληθεύει την AX=b

τότε αφού αύτη ειναι τύχαια τότε θα έχει άπειρες λύσεις

#12

Ωραία. Έκανα κάποια επεξεργασία στο προηγούμενο μήνυμα. Για να γράφεις το x_1

βάλε το χ_1 ανάμεσα σε δολλάρια.

Μπορούμε αυτό να το γράψουμε λίγο διαφορετικά. Κάθε διάνυσμα της μορφής $x_1 + \lambda(x_1 - x_2)$ με $\lambda \in \mathbb{R}$ είναι λύση. Αυτό μπορούμε να το δούμε κάνοντας τις πράξεις αλλά ο λόγος που δουλεύει είναι ότι το

ανήκει στον πυρήνα. Και όπως έχει δείξει και ο Δημήτρης πιο πάνω, απαντώντας στο ερώτημα που έβαλα για το πως μπορούμε να γράψουμε όλες τις λύσεις του συστήματος, κάθε λύση είναι της μορφής x+k

όπου το

είναι μια συγκεκριμένη λύση και το

ανήκει στον πυρήνα.

Για το ερώτημα πότε ισχύει R(A) = N(A)

θα βοηθούσες αν έχεις δει το θεώρημα rank-nullity. Αν ισχύει η ισότητα τότε τα R(A),N(A)

πρέπει να έχουν και την ίδια διάσταση. Το θεώρημα rank-nullity συνδέει τις διαστάσεις τους. Μήπως θυμάσαι τι λέει;

dimitrisbaltas · #13

Χάρη έτσι όπως τα λέει ο Δημήτρης είναι! Για να φρεσκάρω λίγο την μνήμη σου θα πω ότι το θεώρημα που αναφέρεται προβλέπει ότι αν έχεις έναν πίνακα m*n

με στοιχεία από ένα σώμα Κ τότε ισχύει ότι rank A + nullity A = n

. Αν πραγματικά δεν σου θυμίζει κάτι τότε θυμίσου τι σχέση υπάρχει ανάμεσα στις διαστάσεις 2 διανυσματικών χώρων πάνω στους οποίους έχει οριστεί μια γραμμική απεικόνιση σε σχέση με τον πυρήνα της....

Χάρης1 · #14

Θα επανέλθω στην άσκηση που άφησα,μετά τις εξαιρετικές παραπομπές
Τώρα επείγει αυτή.
Να επεκτείνετε το $\left\{u_{1}=(1,1,1,1),u_{2}=(2,2,3,4) \right\}$ σε μία βάση του R^4

'Εχω προχωρήσει την άσκηση αρκετά.Πήρα 2 σύνηθεις βάσεις έτσι ώστε να έχω στοιχεία όσο και η δίασταση.Απέδειξα ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα ,δημιουργόντας έναν πίνακα και καταλήγοντας στην κλιμακωτή μορφή του βρήκα οτι όλες οι γραμμές είναι μη-μηδενικές.Τώρα αύτο που μου μένει είναι να δείξω ότι τα διανύσματα $\left\{u_{1}=(1,1,1,1),u_{2}=(2,2,3,4),u_{3}=(0,1,0,0),u_{4}=(0,0,0,1) \right\}$ παράγουν τι?

#15

Χάρης1 έγραψε:<...>Τώρα αύτο που μου μένει είναι να δείξω ότι τα διανύσματα $\left\{u_{1}=(1,1,1,1),u_{2}=(2,2,3,4),u_{3}=(0,1,0,0),u_{4}=(0,0,0,1) \right\}$ παράγουν τι?

Τον χώρο (εδώ $\mathbb R ^4$ ) !

Μα τι άλλο θα μπορούσε να είναι, αφού ψάχνεις βάση;

Είμαι ΑΠΟΛΥΤΑ βέβαιος ότι τα βιβλία που διαβάζεις και το μάθημα που παρακολουθείς
έχουν ΠΑΡΟΜΟΙΑ παραδείγματα, λυμένα μέχρι κεραίας. Δεν χρειάζεσαι την βοήθεια mathematica
για τέτοιου τύπου ερωτήσεις, αν κάνεις ΣΩΣΤΗ προεργασία πριν ρωτήσεις.

Μ.

Χάρης1 · #16

Δεν θα μπορούσε να είναι ένας υπόχωρος του R^4

?
και να ψάχω για μια βάση του υποχώρου αυτου?
Πώς θα δείξω ότι αύτα τα 4 διανύσματα παράγουν τον R^4

dimitrisbaltas · #17

Χάρη καλησπέρα. Συμφωνώ με τον Μιχάλη όμως θα σου δώσω ένα στοιχείο για να σε βοηθήσω. Για να δείξεις ότι τα στοιχεία που γράφεις αποτελούν βάση του χώρου σου θα πρέπει να δείξεις δύο πράγματα: 1) είναι γραμμικά ανεξάρτητα(το έχεις ήδη δείξει είπες), 2) το τυχαίο στοιχείο του χώρου σου γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του συνόλου που θέλεις να δείξεις ότι είναι βάση.

#18

Χάρης1 έγραψε:<...>
Πώς θα δείξω ότι αύτα τα 4 διανύσματα παράγουν τον

Ξαναδιάβασε το προηγούμενο μήνημά μου. Δώσε την δέουσα προσοχή στην τελευταία παράγραφο και ειδικά στις δύο τελευταίες λέξεις.

Όλα τα βιβλία που διαβάζεις έχουν σε κεντρικό σημείο, εμφατικά, την απάντηση στο παραπάνω ερώτημα.

Τα λέω αυτά για να σε βοηθήσω, όπως άλλωστε μας αρέσει να κάνουμε στο φόρουμ. Πλην όμως, το να παίρνεις από το φόρουμ έτοιμες απαντήσεις σε ερωτήσεις ρουτίνας, είναι κακή υπηρεσία. Θα σου κάνουμε περισσότερη ζημιά από καλό. Πρέπει να μάθεις να αποδελτιώνεις ΜΟΝΟΣ σου την πληροφορία που υπάρχει στα εγχειρίδια που διαβάζεις. Αλλιώς θα μείνεις σε στάσιμα νερά.

Μ.

dimitrisbaltas · #19

Πολύ φοβάμαι Μιχάλη ότι ο φίλος μας ο Χάρης δεν διαβάζει από βιβλίο αλλά από σημειώσεις στις οποίες περιέχονται θέματα που προσπαθεί να λύσει βλέποντας άλλα λυμένα θέματα. Σωστά Χάρη? Βέβαια δουλειά μας εδώ δεν είναι να κρίνουμε το πως διαβάζει ο καθένας απλά για να καταλάβεις τι λέει ο Μιχάλης θα σου πω το εξής παράδειγμα. Αν αγοράσεις ένα επιτραπέζιο παιχνίδι δεν θα μπορέσεις να το παίξεις σωστά αν πρώτα δεν διαβάσεις τους κανόνες πάνω στους οποίους έχει στηθεί. Φαντάσου τώρα τα Μαθηματικά σαν αυτό το υποθετικό επιτραπέζιο. Οι ορισμοί αποτελούν τους κανόνες με τους οποίους θα μπορέσεις να παίξεις. Μια απάντηση έτοιμη, πραγματικά δεν κοστίζει τίποτα σε εμάς(γι αυτό και προσωπικά σου έδωσα απάντηση σε αυτό που ρώτησες!). Κοστίζει σε εσένα όμως γιατί στερείς από τον εαυτό σου την ικανότητα να μάθεις να μελετάς σωστά ένα πρόβλημα από όποιον χώρο και αν αυτό προέρχεται.
Φιλικά,
Δημήτρης

#20

Δημήτρη, έχεις απόλυτο δίκιο. Τα επικροτώ και επαυξάνω.

Δυστυχώς αυτή την νοοτροπία της επιφανειακής ενασχόλησης με τα μαθήματα, την γνωρίζω από πρώτο χέρι. Έχω διδάξει σε Πανεπιστήμια σε τρεις Ηπείρους αλλά, το λέω με πόνο, μόνο στην Ελλάδα συναντάμε το φαινόμενο της "πεταχτής".
Γι' αυτό θα παρατήρησες ότι, στα παραπάνω, δεν έγραψα μόνο

"οι απαντήσεις βρίσκονται στα βιβλία που διαβάζεις" αλλά πρόσθεσα ότι

"βρίσκονται και στο μάθημα που παρακολουθείς" ,

Το "παρακολουθείς" είναι, βέβαια, ρητορικό ...

Θα έχεις προσέξει ότι κάνω έναν αδιάλειπτο αγώνα να εμφυσήσω την νοοτροπία της αυτενέργειας. Πιστεύω ακράδαντα ότι ο καθένας μας πρέπει να είναι αυτάρκης, ανεξάρτητος, δυνατός. Εννοείται ότι θα δίνουμε την βοήθειά μας, ΜΕ ΧΑΡΑ ΚΑΙ ΜΕ ΟΛΕΣ ΜΑΣ ΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ, σε όποιον την έχει ανάγκη. Τα έτοιμα, χωρίς την παράλληλη αξιοποίησή τους από τους αποδέκτες, είναι αυτό που αποφεύγω.

Φιλικά,

Μιχάλης

Απορία2

Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Re: Απορία2

Μέλη σε σύνδεση