Διαφορικός Λογισμός 11

Γιώργος Κ77 · #1

Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\epsilon : y=-6x-3$ δεν τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

$f(x)=x^{4}+x^{2}+8$ και στη συνέχεια να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους.

#2

Η παράγωγος $g^{\prime}(x)=2\,(x+1)\,({2x^2-2x+3})$ της συνάρτησης $g(x)=f(x)-({-6x-3})=x^4+x^2+6x+11$ μηδενίζεται μόνο στο x_0=-1

, ενώ εκατέρωθεν του x_0=-1

αλλάζει πρόσημο ( $g^{\prime}(x)<0$ , για $x\in({-\infty,-1})$ και $g^{\prime}(x)>0$ , για $x\in({-1,+\infty})$ ).
Άρα η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x_0=-1

με ελάχιστη τιμή την g(-1)=7

, η οποία είναι και η ζητούμενη ελάχιστη απόσταση της γραφικής παράστασης της

και της ευθείας $\varepsilon$ .

parmenides51 · #3

Νομίζω πως ελάχιστη απόσταση δεν σημαίνει απαραίτητα ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση.

Γιώργος Κ77 · #4

Έχεις δίκαιο parmenides51.

Έστω $M(x_{o},y_{o})$ το σημείο της $C_{f}$ , στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ε.

Τότε $f'(x_{o})=-6\Leftrightarrow x_{o}=-1$ . Άρα M(-1,10)

.

Η ελάχιστη απόσταση της ε από την $C_{f}$ είναι ίση με $d(M,\epsilon )=...=\frac{7}{\sqrt{37}}$ .

parmenides51 · #5

μου θύμισε αυτήν,
δεν θα πήγαινε το μυαλό μου στο σημείο με την παράλληλη εφαπτομένη,
μολονότι σχηματικά φαίνεται (εκ των υστέρων) απολύτως λογικό

#6

parmenides51 έγραψε:Νομίζω πως ελάχιστη απόσταση δεν σημαίνει απαραίτητα ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση.

Σωστά parmenides51. Ήμουν βιαστικός! Ζητώ συγγνώμη.

#7

για κάτι γενικότερο 8Γ4 σελίδα 142 εδώ

#8

Νομίζω ότι πρώτα θα έπρεπε να ορίσουμε τι σημαίνει απόσταση καμπύλης από ευθεία.

Βασίλης Καλαμάτας · #9

Καλημέρα, χρόνια πολλά σε όλους εορτάζοντες και μη....

Η εφαπτομένη της

στο σημείο της M(-1,10) είναι η y=-6x+4 και επειδή η

είναι κυρτή αφού $f''(x)=12x^{2}+2>0$ , ισχύει $f(x)\geq -6x+4>-6x-3$ , άρα f(x)>-6x-3

(σχέση 1).
Επομένως η ευθεία (ε):y=-6x-3 δεν τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Όσον αφορά την απόσταση, έχω την άποψη ότι πρέπει να διατυπωθεί ως εξής:
Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της

που απέχει την ελάχιστη απόσταση από την ευθεία (ε).

Αν το ζητούμενο σημείο είναι το $A\left( \alpha , f(\alpha )\right)$ , τότε η απόστασή του από την ευθεία (ε) είναι $d=\frac{\left|6\alpha +f(a)+3 \right|}{\sqrt{37}}$ και από τη σχέση (1) γίνεται $d=\frac{6\alpha +f(a)+3}{\sqrt{37}}$ .
Η απόσταση γίνεται ελάχιστη όταν η ποσότητα $6\alpha +f(a)+3=\alpha ^{4}+\alpha ^{2}+6\alpha+11$ , γίνει ελάχιστη.
Θεωρώ τη συνάρτηση $g(\alpha)=\alpha ^{4}+\alpha ^{2}+6\alpha+11$ , η οποία έχει παράγωγο $g'(\alpha)=4\alpha ^{3}+2\alpha +6=(\alpha +1)(4\alpha ^{2}-4\alpha +6)$ , οπότε προκύπτει εύκολα ότι παρουσιάζει ελάχιστο για $\alpha =-1$ .

Καλό μεσημέρι σε όλους.

parmenides51 · #10

μια σχετική συζήτηση έχει γίνει κι εδώ

Διαφορικός Λογισμός 11

Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Re: Διαφορικός Λογισμός 11

Μέλη σε σύνδεση