μεσημεριανό ολοκλήρωμα 46

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

$\displaystyle I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{\sin x(1+14x\cos x)-x\sin 4x}{7-2\cos 2x} \rm{dx}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

$\displaystyle{\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x\left( {1 + 14x\cos x} \right) - x\sin 4x}}{{7 - 2\cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x + 7x\sin 2x - 2x\sin 2x\cos 2x}}{{7 - 2\cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x + x\sin 2x\left( {7 - 2\cos 2x} \right)}}{{7 - 2\cos 2x}}dx} = }$

$\displaystyle{ = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x}}{{7 - 2\cos 2x}}dx} + \int\limits_0^{\pi /2} {x\sin 2xdx} = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x}}{{9 - 4{{\cos }^2}x}}dx} + \frac{\pi }{4} = \mathop = \limits^{\cos x = y} = \frac{\pi }{4} + \int\limits_0^1 {\frac{1}{{9 - 4{y^2}}}dy} = }$

$\displaystyle{ = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{6}\left( {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{3 - 2y}}dy} + \int\limits_0^1 {\frac{1}{{3 + 2y}}dy} } \right) = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{{12}}\left[ {\ln \left( {\frac{{3 + 2y}}{{3 - 2y}}} \right)} \right]_{y = 0}^{y = 1} = \frac{1}{{12}}\left( {3\pi + \ln 5} \right)}$ .

Η ισότητα $\displaystyle{\int\limits_0^{\pi /2} {x\sin 2xdx} = \frac{\pi }{4}}$ .. προκύπτει από στοιχειώδη παραγοντική ολοκλήρωση.

mathxl · #3

Πωπω Σεραφείμ δεν είδα καν την βολική παραγοντοποίηση στην πρώτη σου σειρά!!

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 46

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 46

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 46

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 46

Μέλη σε σύνδεση