Εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

#1

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , ώστε f(0)=0

και

$\displaystyle{f{'}(x)=\frac {1}{3}f{'}\left(\frac {x}{3}\right)+\frac {2}{3}f{'}\left(\frac {2x}{3}\right)}$

Bern · #2

Έχουμε ότι f(x)=f(x/3)+f(2x/3)

. Επαγωγικά δείχνεις ότι: $f(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k} f \left( \frac{2^k}{3^n}x \right).$ Επίσης, είναι $f(y)/y\to \lambda:=f'(0)$ .

Σταθεροποίησε $x\neq 0$ και τυχόν $\varepsilon>0$ . Υπάρχει $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ ώστε $|f(y)/y-\lambda|<\varepsilon$ για κάθε $0<|y|<\delta$ . Πάρε κι ένα $n\in\mathbb N$ ώστε $(2/3)^n|x|<\delta$ . Τότε γράφεις:

$\displaystyle \left | \frac{f(x)}{x}-\lambda \right| =\left | \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{3^n}{n\choose k}\left(\frac{f(\frac{2^kx}{3^n})}{\frac{2^kx}{3^n}}-\lambda \right)\right|\leq \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{3^n}{n\choose k}\left| \frac{f(2^kx/3^n)}{2^kx/3^n}-\lambda\right|$ ,

παρατηρώντας κιόλας ότι $\sum_{k=0}^n \frac{2^k}{3^n}{n\choose k}=1$ . Επειδή $0<|2^kx/3^n|<\delta$ για $k=0,1\ldots, n$ έχεις $|f(x)/x-\lambda|\leq \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{3^n}{n\choose k}\varepsilon =\varepsilon.$

Εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Re: Εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση