Γνωστή υπαρξιακή..αλλά από διαφορετική σκοπιά

air · #1

Μια άσκηση που μας δόθηκε πριν κάποιες εβδομάδες. Πιστεύω ότι παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον.

Να βρεθεί το σύνολο όλων των αριθμών $k\in\mathbb (0,1]$ ώστε για κάθε συνεχή συνάρτηση $f:[0,1]\to \mathbb R , f(0)=f(1)$
η εξίσωση f(x)=f(x+k)

να έχει λύση.

#2

air έγραψε:Μια άσκηση που μας δόθηκε πριν κάποιες εβδομάδες. Πιστεύω ότι παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον.

Να βρεθεί το σύνολο όλων των αριθμών $k\in\mathbb (0,1]$ ώστε για κάθε συνεχή συνάρτηση $f:[0,1]\to \mathbb R , f(0)=f(1)$
η εξίσωση να έχει λύση.

Είναι γνωστό (έχει συζητηθεί στο

, αλλά και εύκολα αποδεικνύεται για τον φάκελο που βρισκόμαστε) ότι για οποιαδήποτε συνεχή

συνάρτηση με τις ιδιότητες που δίνονται οι αριθμοί $\frac {1}{n}$ , όπου

θετικός ακέραιος είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης.

Θα αποδείξουμε ότι αν

ένας αριθμός του (0,1]

διαφορετικός των αριθμών $\frac {1}{n}$ , τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση

με τις

πιο πάνω ιδιότητες που η εξίσωση f(x+r)=f(x)

δεν έχει ρίζα.

Θεωρούμε μία συνάρτηση

που ορίζεται στο $\mathbb{R}$ , είναι συνεχής, έχει περίοδο

και $h(0)=0, h(1)=m\neq 0$

Η f(x)=h(x)-mx

στο διάστημα [0,1]

έχει τις ζητούμενες ιδιότητες και

$f(x+r)=f(x) \Leftrightarrow -mr=0$ , αδύνατο.

Άρα το ζητούμενο σύνολο είναι το $\{\frac {1}{n}/n \in \mathbb{N}^*\}$

air · #3

s.kap έγραψε:
Είναι γνωστό (έχει συζητηθεί στο , αλλά και εύκολα αποδεικνύεται για τον φάκελο που βρισκόμαστε) ότι για οποιαδήποτε συνεχή

συνάρτηση με τις ιδιότητες που δίνονται οι αριθμοί $\frac {1}{n}$ , όπου θετικός ακέραιος είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης.

Για αυτό και ο τίτλος.

Πάντως αυτή η άσκηση αποτελεί μια από τις πιο δύσκολες ασκήσεις που συνάντησα εκτός

στη Γ' Λυκείου..

s.kap έγραψε: Θα αποδείξουμε ότι αν ένας αριθμός του διαφορετικός των αριθμών $\frac {1}{n}$ , τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση με τις

πιο πάνω ιδιότητες που η εξίσωση δεν έχει ρίζα.

Θεωρούμε μία συνάρτηση που ορίζεται στο $\mathbb{R}$ , είναι συνεχής, έχει περίοδο και $h(0)=0, h(1)=m\neq 0$

Η στο διάστημα έχει τις ζητούμενες ιδιότητες και

$f(x+r)=f(x) \Leftrightarrow -mr=0$ , αδύνατο.

Άρα το ζητούμενο σύνολο είναι το $\{\frac {1}{n}/n \in \mathbb{N}^*\}$

Ευχαριστώ πολύ για την ιδιαίτερα κομψή και σύντομη λύση.

Η επίσημη λύση είναι η εξής: (το

παίζει το ίδιο ρόλο που έπαιξε και στην παραπάνω λύση)

Έστω $N:=max\{m\in \mathbb N|mr\leq 1\},0<z:=1-Nr<r$ . Oρίζουμε τη συνάρτηση

$g:[0,r]\to\mathbb R, g(x)=\begin{cases} & \text{ - Nx/z if } x\in [0,z] \\ & \text{((N+1)x-1)/(r-z) if } x\in[z,r] \end{cases}$

καθώς και τη συνάρτηση
$f:[0,1]\to\mathbb R,f(x)=g(x-mr)+m\ \ \forall x\in [mr,(m+1)r]\bigcap{[0,1]}$
$m\in\{0,1,...,N\}$ .

Μπορούμε να δείξουμε ότι η

είναι συνεχής και ακόμα ισχύει ότι f(1)=g(1-Nr)+N=g(z)+N=0=f(0)

.

Αλλά f(x+r)=g(x+r-(m+1)r)+m+1=g(x-mr)+m+1=f(x)+1>f(x)

δηλαδή η εξίσωση f(x+r)=f(x)

δεν έχει λύσεις.

Σημείωση: Αν δεν κάνω λάθος, η συνάρτηση $h(x)=f(x)-\frac{x}{c}$ αποτελεί παράδειγμα (κατασκευή) συνάρτησης που ικανοποιεί τις συνθήκες της περιοδικότητας και $h(0)=0,h(1)=-\frac{1}{c}\neq0$ στη λύση του κ. Καπελλίδη.

Γνωστή υπαρξιακή..αλλά από διαφορετική σκοπιά

Γνωστή υπαρξιακή..αλλά από διαφορετική σκοπιά

Re: Γνωστή υπαρξιακή..αλλά από διαφορετική σκοπιά

Re: Γνωστή υπαρξιακή..αλλά από διαφορετική σκοπιά

Μέλη σε σύνδεση