13Α-Άλγεβρα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να βρείτε την αναγκαίες και ικανές συνθήκες μεταξύ των πραγματικών αριθμών $\beta$ και $\gamma$ , για τις οποίες οι ρίζες ${{\rho }_{1}}$ και ${{\rho }_{2}}$ της εξίσωσης: ${{x}^{2}}-\beta x+\gamma =0$ να είναι πραγματικές και να πληρούν τη σχέση: $3{{\rho }_{1}}-2{{\rho }_{2}}=\beta$ .

Υ.Γ.
Παρακαλώ μόνο πλήρεις λύσεις.

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Από τύπους Vieta:

${p_1} + {p_2} = \beta$ όμως δίνεται ότι $3{p_1} - 2{p_2} = \beta$

από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε:

${p_1} = \frac{{3\beta }}{5},\,\,{p_2} = \beta - \frac{{3\beta }}{5} = \frac{{2\beta }}{5}$

Όμως, ${p_1} \cdot {p_2} = \gamma$ , άρα $\frac{{3\beta }}{5} \cdot \frac{{2\beta }}{5} = \gamma$ δηλαδή $\frac{{6{\beta ^2}}}{{25}} = \gamma$

Ας δούμε το αντίστροφο:

Για $\frac{{6{\beta ^2}}}{{25}} = \gamma$ γίνεται η δοσμένη εξίσωση δευτέρου βαθμού,

$\Delta = {\beta ^2} - 4 \cdot 1 \cdot \gamma = \frac{1}{{25}} \cdot {\beta ^2}$ με λύσεις: ${p_1} = \frac{{\beta + \frac{1}{5}\beta }}{2} = \frac{{3\beta }}{5}$ και

${p_1} = \frac{{\beta - \frac{1}{5}\beta }}{2} = \frac{{2\beta }}{5}$ άρα $3{p_1} - 2{p_2} = \beta$

οπότε βρήκαμε την αναγκαία και ικανή σχέση που συνδέει τα β, γ και είναι η $\frac{{6{\beta ^2}}}{{25}} = \gamma$

Σημείωση: Αντώνη οι μαθητές της Α΄ Λυκείου γνωρίζουν τις έννοιες, "ικανή και αναγκαία συνθήκη"; Εδώ τις αγνοούμε εμείς, αφού δεν τις έχουμε διδαχτεί σε κανένα σύγγραμμα (φυσικά κάτι αναφέρει το σχολικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου στα θεωρήματα, αλλά δεν είναι αρκετό και ούτε συνεχές με την γνώση που έχει προηγηθεί...)

2. Οι τύποι Vieta όπως πολύ σωστά μου επεσήμανε ο Αντώνη, ισχύουν και για ίσες ρίζες, οπότε απλοποίησα την λύση μου.

Α.Κυριακόπουλος · #3

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να βρείτε την αναγκαίες και ικανές συνθήκες μεταξύ των πραγματικών αριθμών $\beta$ και $\gamma$ , για τις οποίες οι ρίζες ${{\rho }_{1}}$ και ${{\rho }_{2}}$ της εξίσωσης: ${{x}^{2}}-\beta x+\gamma =0$ να είναι πραγματικές και να πληρούν τη σχέση: $3{{\rho }_{1}}-2{{\rho }_{2}}=\beta$ .

Υ.Γ.
Παρακαλώ μόνο πλήρεις λύσεις.

ΣΧΟΛΙΟ. Tην άσκηση θα την λύσουμε με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι ο ίδιος με εκείνον τον οποίο ακλούθησε και ο Μάκης (Χατζόπουλος) , σε παραπάνω μήνυμά του. .
ΛΥΣΗ.
Καταρχήν έχουμε:
$\Delta ={{\beta }^{2}}-4\gamma$ (1) , ${{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}=\beta$ (2), ${{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}=\gamma$ (3).
1ος τρόπος.
i) Αναγκαίες συνθήκες. Έστω ότι η δοσμένη εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές ${{\rho }_{1}}$ και ${{\rho }_{2}}$ και ότι ισχύει: $3{{\rho }_{1}}-2{{\rho }_{2}}=\beta$ (4).
Από τις (2) και (4) βρίσκομαι εύκολα ότι: ${{\rho }_{1}}=\frac{3\beta }{5}$ και ${{\rho }_{2}}=\frac{2\beta }{5}$ . Αντικαθιστώντας την (3), έχουμε: $\frac{3\beta }{5}\cdot \frac{2\beta }{5}=\gamma \Rightarrow 6{{\beta }^{2}}=25\gamma$ .
Ώστε, τότε, αναγκαίος έχουμε: $6{{\beta }^{2}}=25\gamma$ (5).( αναγκαία συνθήκη).
ii) Ικανές συνθήκες (αντιστρόφως). Έστω ότι ισχύει η σχέση (5). Τότε έχουμε: $\gamma =\frac{2}{25}{{\beta }^{2}}$ και συνεπώς: $\Delta ={{\beta }^{2}}-4\gamma ={{\beta }^{2}}-4\cdot \frac{6}{25}\cdot {{\beta }^{2}}=\frac{{{\beta }^{2}}}{25}\ge 0$ . Άρα η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές, τις:
$x=\frac{\beta \pm \frac{\beta }{5}}{2}=\frac{5\beta \pm \beta }{10}$ . Αν θέσουμε: ${{\rho }_{1}}=\frac{5\beta +\beta }{10}=\frac{3\beta }{5}$ και ${{\rho }_{2}}=\frac{5\beta -\beta }{10}=\frac{2\beta }{5}$ , θα έχουμε: $3{{\rho }_{1}}-2{{\rho }_{2}}=...=\beta$ . Άρα η σχέση (5) είναι και ικανή.
• Συνεπώς η σχέση (5) είναι η ζητούμενη αναγκαία και ικανή συνθήκη.

2ος τρόπος.
Επειδή στην εκφωνήσει δεν υπάρχει διάταξη των ριζών, οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να ισχύουν αυτά που θέλουμε, είναι: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta \ge 0 \\ \left( {3{\rho _1} - 2{\rho _2} = \beta \dot \eta 3{\rho _2} - 2{\rho _1} = \beta } \right) \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta \ge 0 \\ \left( {3{\rho _1} - 2{\rho _2} - \beta } \right)\left( {3{\rho _2} - 2{\rho _1} - \beta } \right) = 0 \\ \end{array} \right.$ ( πράξεις κτλ.)

$\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \left\{ \begin{array}{l} {\beta ^2} - 4\gamma \ge 0 \\ 13{\rho _1}{\rho _2} - 6\left( {\rho _1^2 + \rho _2^2} \right) - \beta \left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right) + {\beta ^2} = 0 \\ \end{array} \right.$ [επειδή $\rho _1^2 + \rho _2^2 = {({\rho _1} + {\rho _2})^2} - 2{\rho _1}{\rho _2}$ ]

$\mathop \Leftrightarrow \limits_{(3)}^{(2)} \left\{ \begin{array}{l} {\beta ^2} - 4\gamma \ge 0 \\ 25\gamma - 6{\beta ^2} = 0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \gamma = \frac{{6{\beta ^2}}}{{25}} \\ {\beta ^2} - 4 \cdot \frac{{6{\beta ^2}}}{{25}} \ge 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6{\beta ^2} = 25\gamma \\ {\beta ^2} \ge 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow 6{\beta ^2} = 25\gamma$

• Συνεπώς η σχέση $6{\beta ^2} = 25\gamma$ είναι η ζητούμενη αναγκαία και ικανή συνθήκη.

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Αντώνη υποδειγματική λύση!! Ο δε δεύτερος τρόπος ιδιοφυείς, δεν έχω δει κάτι ανάλογο!

13Α-Άλγεβρα

13Α-Άλγεβρα

Re: 13Α-Άλγεβρα

Re: 13Α-Άλγεβρα

Re: 13Α-Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση