Τριγωνομετρία

[R BORIS]

Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : συνΑσυνΒ+ημΑημΒημΓ=1 τότε να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

[kostas.zig]

ημΑημΒημΓ+συνΑσυνΒ<=ημΑημΒ+συνΑσυνΒ=συν(Α-Β) οποτε 1<=συν(Α-Β) , αρα συν(Α-Β)=1 δηλαδη Α=Β. οποτε απο την υποθεση εχουμε (ημΑ)^2+(συνΑ)^2=1 , οποτε ημΓ=1.

[chris_gatos]

Καλημέρα σας ! Αν θεωρήσουμε τα διανύσματα α=(συνΑ,ημΑ) και β=(συνΒ,ημΒημΓ) (συγχωρέστε με για τους συμβολισμούς,αλλά κάτι κάνω στραβά ΣΤΟ Latex) τότε χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε:
|συνΑσυνΒ+ημΑημΒημΓ|<= sqr[(συνΑ)^2+(ημΑ)^2] sqr[(συνΒ)^2+(ημΒημΓ)^2] απ' όπου έχουμε :
1<= 1 sqr[(συνΒ)^2+(ημΒημΓ)^2] δηλαδή υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη, αφού είναι θετικά
1<=(συνΒ)^2+(ημΒ)^2(ημΓ)^2 ή 1-(συνΒ)^2<=(ημΒ)^2(ημΓ)^2 δηλαδή (ημΒ)^2<=(ημΒ)^2(ημΓ)^2 .
Και επειδή Β διαφορετική απο 0 και κπ, αφού είναι γωνία τριγώνου, προκύπτει (ημΒ)^2>0, άρα (ημΓ)^2>=1
συνεπώς |ημΓ|>=1. Απο την ανισότητα αυτή (επειδή ημΓ>0, Γ γωνία τριγώνου), έχουμε ημΓ>=1 και την ημΓ<=1, προκύπτει (αισίως!) ημΓ=1, δηλαδή Γ=90 αρα το ΑΒΓ ορθογώνιο. Αν αντικαταστήσουμε στην αρχική μας σχέση ημΓ=1, λαμβάνουμε συν(Α-Β)=1=συν0 άρα Α-Β=0 =>Α=Β.