Θέμα 8

ghan · #1

Δείξτε ότι η εξίσωση ${{x}^{8}}=7x+6$ δεν έχει περισσότερες από δύο πραγματικές ρίζες.

#2

...μία λύση...

Εστω ότι η $f(x)={{x}^{8}}-7x-6$ έχει τρείς ρίζες στο

τις ${{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}}$ τότε στα $[{{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}],\,\,[{{\rho }_{2}},\,\,{{\rho }_{3}}]$

επειδή η

πραγωγίσιμη με ${f}'(x)=8{{x}^{7}}-7$ σύμφωνα με το θεώρημα του ROLLE θα υπάρχουν ${{x}_{1}}\in [{{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}],\,\,\,\,{{x}_{2}}\in [{{\rho }_{2}},\,\,{{\rho }_{3}}]$ ώστε ${f}'({{x}_{1}})={f}'({{x}_{2}})=0$

που είναι άτοπο γιατί η εξίσωση ${f}'(x)=0\Leftrightarrow 8{{x}^{7}}-7=0\Leftrightarrow {{x}^{7}}=\frac{7}{8}\Leftrightarrow x=\sqrt[7]{\frac{7}{8}}$ άρα η f(x)=0

έχει το πολύ δύο ρίζες.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ghan · #3

Έχει πραγματικές ρίζες;

dennys · #4

Παίρνοντας τα εξής όρια :

$lim_{x\to \pm \infty}f(x)=+\infty$ αρα υπάρχουν a<0, b>0 : f(a)>0,f(b)>0

και

συνεπώς απο θ.β. σε κάθε διαστημα [a,0],[0,b]

υπάρχουν

Τελικά εχουμε τουλάχιστον δύο (απο dennys )+ το πολύ δυο (απο Βασίλη)=ακριβώς δυο πραγματικές ρίζες.

dennys

alexandropoulos · #5

ghan έγραψε:Έχει πραγματικές ρίζες;

Πιστεύω πως δεν χρειάζεται να ελεγχθεί η ύπαρξη πραγματικής ρίζας έτσι όπως διατυπώθηκε η άσκηση.
Θα υπήρχε λόγος να γίνει αυτό αν για παράδειγμα, η απαίτηση ήταν τουλάχιστον μια ( πραγματική) αλλά όχι περισσότερες από δύο.

Φιλικά
Νίκος

Θέμα 8

Θέμα 8

Re: Θέμα 8

Re: Θέμα 8

Re: Θέμα 8

Re: Θέμα 8

Μέλη σε σύνδεση