Θέμα 41

ghan · #1

Να υπολογισθεί το $\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\left( \sqrt[3]{1+\sin x}-1 \right)$ .

#2

Για

κοντά στο

έχουμε:

$\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\left( \sqrt[3]{1+\sin x}-1 \right)=$

$\displaystyle{=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+sinx-1}{x\left( \sqrt[3]{1+\sin x}^2+\sqrt[3]{1+\sin x}+1 \right)}=\frac{1}{3}}$ .

parmenides51 · #3

Θέτω $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{1+\sin x}, x\neq (2k+1)\pi, k\in \mathbb{Z}}$
προφανώς
$\displaystyle{f'(x)=\left( (1+\sin x)^{\frac{1}{3}\right)'=\frac{1}{3}(1+\sin x)^{\frac{1}{3}-1}(1+\sin x)'=\frac{1}{3}(1+\sin x)^{-\frac{2}{3}}cosx}}$ $\displaystyle{=\frac{cosx}{3\sqrt[3]{(1+\sin x)^2}}}$

$\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\left( \sqrt[3]{1+\sin x}-1 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=\frac{cos0}{3\sqrt[3]{(1+0)^2}}=\frac{1}{3}}$

Θέμα 41

Θέμα 41

Re: Θέμα 41

Re: Θέμα 41

Μέλη σε σύνδεση