Vojtěch Jarník 1997/I/1

#1

Έστω

ένας περιττός θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι αν d|(a^2+2)

τότε $d \equiv 1 \bmod 8$ ή $d \equiv 3 \bmod 8$ .

alex_eske · #2

Έστω

ένας πρώτος διαιρέτης του

. Τότε

, άρα, αφού ο p είναι περιττός, το σύμβολο Legendre $(\frac{-2}{p})$ ισούται με 1. Όμως, $(\frac{-2}{p})=(\frac{-1}{p})(\frac{2}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}}(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}.$ Για p=5 mod8

το $\frac{p^2-1}{8}$ είναι περιττός και το $\frac{p-1}{2}$ άρτιος, άρα δεν μπορεί να ισχύει η παραπάνω. Για p=7 mod8

το $\frac{p^2-1}{8}$ είναι άρτιος και το $\frac{p-1}{2}$ περιττός, άρα απορρίπτεται και αυτή. Άρα κάθε πρώτος διαιρέτης του

είναι είτε =1 mod8

είτε

. Όμως, αφού 3^2=1 mod8

το ίδιο ισχύει και για τον

.

Vojtěch Jarník 1997/I/1

Vojtěch Jarník 1997/I/1

Re: Vojtěch Jarník 1997/I/1

Μέλη σε σύνδεση