Ορθομοναδιαίος τελεστής

det · #1

Εξετάστε πότε ο πολλαπλασιαστικός τελεστής $M_{f}$ όπου $f \in C([0,1])$ με $(M_{f}g)(t)=f(t)g(t)$ απ'τον $L^{2}([0,1])$ είναι ορθομοναδιαίος-(unitary).

#2

det έγραψε:Εξετάστε πότε ο πολλαπλασιαστικός τελεστής $M_{f}$ όπου $f \in C([0,1])$ με $(M_{f}g)(t)=f(t)g(t)$ απ'τον $L^{2}([0,1])$ είναι ορθομοναδιαίος-(unitary).

Για δοθείσα $f \in C([0,1])$ και τυχαίες $g, h \in L^{2}([0,1])$ έχουμε

$\displaystyle{ < M_f g , h> = \int _0^1 (M_fg) (t) \overline {h(t)} dt = \int _0^1 f(t)g(t) \overline {h(t)} dt =}$
$\displaystyle{ = \int _0^1 g(t) \overline { \overline {f(t)} h(t)} dt = \int _0^1 g(t) \overline {(M_{ \overline {f}} h)(t)} dt = < g, M_{ \overline {f}} h> }$

Άρα από τον ορισμό του συζυγούς είναι $\displaystyle{M_f^*= M_{ \overline {f}}}$ και άρα $\displaystyle{M_fM_f^*= M_f^*M_f = M_{f\overline f} }$ (απλό). Άρα είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν $f(t) \overline {f(t)} = 1, \forall t \in [0,1]$ (χρησιμοποιήθηκε η συνέχεια της

εδώ που από "σχεδόν παντού" πάμε στο "παντού") , δηλαδή $|f(t)|=1, \forall t \in [0, 1]$ . Τελικά

σταθερή $\pm 1$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Τώρα που την απάντησα, το μισομετάνοιωσα γιατί έπρεπε να δώσω μόνο υπόδειξη: προφανώς πρόκειται για "εργασία στο σπίτι" από μάθημα Θεωρίας Τελεστών. Τεκμαίρεται από το γεγονός ότι είναι η πρώτη δημοσίευση νέου μέλους μας. Τον καλωσορίζω έτσι και αλλιώς.

Ορθομοναδιαίος τελεστής

Ορθομοναδιαίος τελεστής

Re: Ορθομοναδιαίος τελεστής

Μέλη σε σύνδεση