Εύρεση συνάρτησης

mathxl · #1

Να προσδιορίσετε όλες τισ συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την $f(xy)\le xf(y)$ για όλους τους πραγματικούς $x,\,y$

APOSTOLAKIS · #2

1. Περιττή.
Έστω x $\neq$ 0
θέτω y= $\frac{1}{x}$ από υπόθεση f(1) $\leq$ xf( $\frac{1}{x}$ ) (1)
Αν x > 0 τότε $\frac{f(1)}{x}\leq f(\frac{1}{x})$ (2)
Αν x < 0 τότε $\frac{f(1)}{x}\geq f(\frac{1}{x})$ (3)
Για κάθε x $\neq$ 0, στην υπόθεση θέτω όπου x το $\frac{1}{x}$ και y=1, τότε $f(\frac{1}{x})$ $\leq$ $\frac{f(1)}{x}$ (4).
Άρα για κάθε x > 0 από (2) και (4) έχουμε $f(\frac{1}{x})$ = $\frac{f(1)}{x}$ ή f(x)=xf(1) (5)
Έστω x < 0 τότε -x > 0 και από τη (5) έχουμε f(-x)=-xf(1) (6)
..................................................
Άρα f περιττή.
2. Τύπος
Για κάθε x > 0 έχουμε f(x)=xf(1)
Για κάθε x < 0 είναι f(x)=xf(1)
Επιπλέον αφού f περιττή f(0)=0.
Άρα f(x)=xf(1) για όλα τα x.

#3

APOSTOLAKIS έγραψε:1. Περιττή.
Για x=-1 από υπόθεση f(-y) $\leq$ -f(y) ή f(-x) $\leq$ -f(x) για κάθε x (1)
Για y=1 από υπόθεση f(x) $\leq$ xf(1) (2)
Θέτω όπου x στην υπόθεση -x, οπότε f(-x) $\leq$ -xf(1) ή xf(1) $\leq$ -f(-x) (3)
Από (2) και (3) έχουμε f(x) $\leq$ -f(-x) για κάθε x. (4)
Από (1) και (4) τελικά f(-x)=-f(x) για κάθε x, άρα f περιττή.
2. Τύπος
Θέτω όπου x το $\frac{1}{y}$ και έχουμε:
f(1) $\leq$ $\frac{1}{y}$ f(y)
οπότε για κάθε y > 0 είναι f(y) $\geq$ yf(1) ή για κάθε x > 0 ισχύει f(x) $\geq$ xf(1) (5)
Από (2) και (5) έχουμε f(x)=xf(1) για κάθε x > 0 (6)
Αν x < 0 τότε -x >0 και από (6) f(-x)=-xf(1) ή f(x)=xf(1) επειδή η f περιττή.
Επιπλέον αφού f περιττή f(0)=0.
Άρα f(x)=xf(1) για όλα τα x.

καλησπέρα
νομίζω πως η (1) και η (4) λένε ακριβώς το ίδιο ,δηλαδή ότι $f(x)\leq - f(-x)$
και δεν δίνουν συμπέρασμα την f περιττή

mathxl · #4

Νομίζω ότι η άσκηση δεν λύθηκε σωστά (συγκεκριμένα το περιττή)
Μπορούμε να πούμε και τα εξής
Για x=0 έχουμε (1-y)f(0)=<0
η οποία για y=2 και y=-2 δίνουν f(0)=0
Για x>0 και y=1 είναι f(x)=<xf(1)=xf(1/x*x)=<x*1/x*f(x)=f(x) άρα f(x)=xf(1)
Για χ<0;;;???

#5

Ας την επαναφέρουμε, μιας και δεν έχει λυθεί...

#6

mathxl έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την $f(xy)\le xf(y), ~~(1)$ για όλους τους πραγματικούς $x,\,y$

καλημέρα ...

$\bullet ~ y=0, ~(1)\rightarrow f(0)(x-1)\geq 0 ~ (2)$

$\diamond ~ x=2,~ (2)\rightarrow f(0)\geq 0$

$\diamond ~ x= -2,~ (2)\rightarrow f(0)\leq 0$

άρα f(0)=0

-------------------------------
για $x\neq 0$

$\bullet ~ y=1, ~ (1)\rightarrow f(x)\leq xf(1)$

$\displaystyle{\bullet ~ y=\frac{1}{x} ,~ (1) \rightarrow f(1)\leq x f(\frac{1}{x})\Rightarrow f(1)\leq \frac{1}{x}f(x)\stackrel{x>0}\Rightarrow f(x)\geq xf(1)}$

άρα για x>0 ~, ~ f(x)=xf(1)

$\bullet ~ y=-1 ,~ (1)\rightarrow f(-x)\leq xf(-1)\Rightarrow f(x)\leq -xf(-1)$

$\displaystyle{\bullet ~y=-\frac{1}{x}, ~(1)\rightarrow f(-1)\leq xf(-\frac{1}{x})\Rightarrow f(-1)\leq \frac{1}{x}f(-x)\Rightarrow f(-1)\leq -\frac{1}{x}f(x)\stackrel{x<0}\Rightarrow f(x)\geq -xf(-1)}$

άρα για x<0 ~ , ~ f(x)=-xf(-1)

#7

Από διαγωνισμό στη Ρουμανία
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=240176

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση