Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (1)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(a)f(b)f(c)=2^{abc},$ για κάθε $a,b,c\in\Bbb{R}$ με a+b+c=0.

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(a)f(b)f(c)=2^{abc},$ για κάθε $a,b,c\in\Bbb{R}$ με

Είναι $f(x)\neq 0$ και f(0)=1>0

οπότε λόγω συνέχειας της

είναι

για κάθε $x\in \mathbb{R}.$

Θέτουμε $g(x)=\log_2 f(x)$ οπότε g(a)+g(b)+g(c)=abc

για κάθε $a,b,c\in\Bbb{R}$ με a+b+c=0.

Επίσης

οπότε

για κάθε $a\in\Bbb{R}.$

Ακόμα g(a)+g(b)+g(-a-b)=-ab(a+b)

ή

για κάθε $a,b,c\in\Bbb{R}.$

Θέτουμε $\displaystyle{h(x)=g(x)-\frac{x^3}{3}}$ οπότε h(a+b)=h(a)+h(b)

για κάθε $a,b,c\in\Bbb{R}.$

Η

είναι λοιπόν Cauchy οπότε h(x)=mx

για κάθε $x\in\Bbb{R}$ όπου

σταθερά.

Επομένως $g(x)=\displaystyle{\frac{x^3}{3}+mx}$ και

$f(x)=\displaystyle{2^{\frac{x^3}{3}+mx}}}$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ .

Η επαλήθευση είναι άμεση με χρήση της ταυτότητας (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)

.

#3

Κι εδώ:
viewtopic.php?f=61&t=20334

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (1)

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (1)

Re: Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (1)

Re: Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (1)

Μέλη σε σύνδεση