ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

AGIOS_VASILIS · #1

ΑΣΚΗΣΗ-1-

Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , για την οποία ισχύει f(0) = 3

και $(x-2)\cdot f'(x)= x^{2} -5x +6$ , για κάθε $x\epsilon R$ . Να βρείτε τον τύπο της

.

AGIOS_VASILIS · #2

ΑΣΚΗΣΗ-2-

Δίνεται συνάρτηση

δύο φορές παραγωγίσιμη στο [10,12]

με

διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσια του $k \epsilon R$ .
Nα δείξετε ότι:
α) Υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης f'(x) - k = 0

.
β) [...] απλό .

Α.Κυριακόπουλος · #3

AGIOS_VASILIS έγραψε:Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , για την οποία ισχύει και $(x-2)\cdot f'(x)= x^{2} -5x +6$ , για κάθε $x\epsilon R$ . Να βρείτε τον τύπο της .

ΛΥΣΗ. (ΑΣΚΗΣΗΣ-1-)
Έστω ότι μια συνάρτηση

πληροί τις δοσμένες συνθήκες. Τότε για κάθε $x\in R$ με $x\ne 2$ θα έχουμε:
$f'(x) = \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{x - 2}} \Rightarrow f'(x) = {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 3x} \right)^\prime } \Rightarrow f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}{x^2} - 3x + {c_1},x < 2 \\ \frac{1}{2}{x^2} - 3x + {c_2},x > 2 \\ \end{array} \right.$
Λόγω συνέχειας στο

, αφού είναι παραγωγίσιμη στο

, βρίσκουμε ότι ${{c}_{1}}={{c}_{2}}(=c)$ και επειδή f(0)=3

, βρίσκουμε ότι c=3

Συνεπώς: $f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+3$ ,για κάθε πραγματικό αριθμό $x\neq 2$ .
Εξάλλου, επειδή η

είναι συνεχής στο

, έχουμε: $f(2)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ . Για το όριο θεωρούμε ότι το

είναι κοντά στο

, για παράδειγμα ότι: $x\in (1,2)\cup (2,3)$ , οπότε $x\ne 2$ και συνεπώς $f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{1}{2}{x^2} - 3x + 3} \right) = - 1$ . Συμπεραίνουμε ότι τότε: $f(x) = \frac{1}{2}{x^2} - 3x + 3$ , για κάθε $x\in R$ .
• Όπως βρίσκουμε εύκολα, η συνάρτηση που βρήκαμε πληροί τις δοσμένες συνθήκες και άρα είναι η μοναδική ζητούμενη.

Υ.Γ.
Ευχαριστώ τον φίλο Μπάμπη Στεργίου για τις εύστοχες παρατηρήσεις του.

AGIOS_VASILIS · #4

Καλή σας ημέρα.
Έχουν βάλει ασκήσεις που μερικές θέλουν πραγματικά προσοχή.

AGIOS_VASILIS · #5

ΑΣΚΗΣΗ-3-

Να προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση $f(x) = \begin{cases} -x^{2}+5 \text{ if }x<0\\ -x^{3}+x^{2}+5 \text{ if } x\geq 0 \end{cases}$
είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

AGIOS_VASILIS · #6

ΑΣΚΗΣΗ-4-

Αν η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι παραγωγίσιμη και $\lim_{x\rightarrow +\propto } f'(x) = 2011$ , να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

δεν έχει στο $+\propto$ οριζόντια ασύμπτωτη.

AGIOS_VASILIS · #7

ΑΣΚΗΣΗ-5-

Να λυθεί η ανίσωση $x^{3} + 5x > 6$ .

mathxl · #8

AGIOS_VASILIS έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ-5-

Να λυθεί η ανίσωση $x^{3} + 5x > 6$ .

Η $\displaystyle{f\left( x \right) = {x^3} + 5x}$ είναι γνησίως αύξουσα ( εύκολα με ορισμό ή παράγωγο) οπότε $\displaystyle{{x^3} + 5x > 6 \Leftrightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > 1}$

AGIOS_VASILIS · #9

Η άλλη με την ασύμπτωτη είναι δύσκολη!
Θα αξιοποιηθεί άραγε αυτό το υλικό από τους υπεύθυνους για την επιλογή των θεμάτων;

mathxl · #10

AGIOS_VASILIS έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ-4-

Αν η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι παραγωγίσιμη και $\lim_{x\rightarrow +\propto } f'(x) = 2011$ , να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει στο $+\propto$ οριζόντια ασύμπτωτη.

και η δύσκολη $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } f'(x) = 2011 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \left( {f'\left( x \right) - 2010} \right) = 1}$
άρα κοντά στο $\displaystyle{{ + \propto }}$ είναι $\displaystyle{f'\left( x \right) - 2010 > 0}$ δηλαδή η $\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2010x}$ είναι γνησίως αύξουσα άρα για $\displaystyle{m}$ κοντά στο $\displaystyle{{ + \propto }}$ έχουμε
$\displaystyle{x > m \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( m \right) \Rightarrow f\left( x \right) - 2010x > f\left( m \right) - 2010m \Rightarrow f\left( x \right) > 2010x + f\left( m \right) - 2010m}$ και επειδή
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2010x + f\left( m \right) - 2010m} \right) = + \infty }$ θα είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right)} \right) = + \infty }$ και έτσι δεν έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη στο $\displaystyle{ + \infty }$

AGIOS_VASILIS · #11

Ωραία λύση !

dennys · #12

AGIOS_VASILIS έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ-4-

Αν η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι παραγωγίσιμη και $\lim_{x\rightarrow +\propto } f'(x) = 2011$ , να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει στο $+\propto$ οριζόντια ασύμπτωτη.

θα μπορούσαμε να δουλέψουμε με άτοπο.

Εστω ότι έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +οο, τότε $\lim_{x\to +\infty}f(x)=k\in \mathbb{R}\Rightarrow$

$k=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)e^{x}}{e^x}=D'LH=lim_{x\to +\infty}\frac{f{'}(x)e^x+f(x)e^x}{e^x}=2011+k\Rightarrow 2011=0 ??$

dennys

parmenides51 · #13

AGIOS_VASILIS έγραψε:Η άλλη με την ασύμπτωτη είναι δύσκολη!
Θα αξιοποιηθεί άραγε αυτό το υλικό από τους υπεύθυνους για την επιλογή των θεμάτων;

τι εννοείς; μια άλλη πηγή προτεινόμενων ασκήσεων είναι και τίποτα παραπάνω ή μήπως όχι;
για ποιον δηλαδή ιδιαίτερο λόγο θα έπρεπε να αξιοποιηθεί από τους θεματοδότες;
ύποπτα θα έλεγα ότι ρωτάς, ύποπτα ...

makisman · #14

AGIOS_VASILIS έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ-3-
Να προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση $f(x) = \begin{cases} -x^{2}+5 \text{ if }x<0\\ -x^{3}+x^{2}+5 \text{ if } x\geq 0 \end{cases}$
είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

Σύμφωνα με τις οδηγίες του ΠΙ ,σε ο,τι αφορά την κυρτότητα και τα Σ.Κ. ,θα εξετάζονται συναρτήσεις τουλάχιστον 2 φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους. Τι νόημα έχει η συγκεκριμένη άσκηση ,αφού δεν είναι δυο φορές παραγωγισιμη στο 0. Ας αποφασίσουν τι θέλουν να διδάσκουμε και τι όχι.
Το κοριτσάκι διπλά στη σόμπα με το laptop κάθεται και μελετάει το Ψ.Σ. Τι θα πρέπει να κάνει?

parmenides51 · #15

Ας προστεθεί καλύτερα μια αρίθμηση στις παραπάνω ασκήσεις, για να ξεχωρίζουν μεταξύ τους,
είναι χύμα αραδιασμένες και αυτό δυσχεραίνει την παρακολούθηση της παρούσας δημοσίευσης.

Ευχαριστούμε για την αρίθμηση την Φωτεινή

AGIOS_VASILIS έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ-5-
Να λυθεί η ανίσωση $x^{3} + 5x > 6$ .

Αναρωτήθηκα αρκετές φορές τι έχει η παραπάνω άσκηση που την κάνει να ξεχωρίζει άραγε...

edit

AGIOS_VASILIS · #16

makisman έγραψε:
AGIOS_VASILIS έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ-3-
Να προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση $f(x) = \begin{cases} -x^{2}+5 \text{ if }x<0\\ -x^{3}+x^{2}+5 \text{ if } x\geq 0 \end{cases}$
είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.
σύμφωνα με τις οδηγιες του ΠΙ σε ο,τι αφορά την κυρτότητα και τα Σ.Κ. θα εξεταζονται συναρτήσεις τουλάχιστον 2 φορες παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους. Τι νόημα εχει η συγκεκριμενη ασκηση αφου δεν ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο 0. Ας αποφασισουν τι θελουν να διδασκουμε και τι οχι.
Το κοριτσακι διπλα στη σομπα με το λαπτοπ και μελεταει το Ψ.Σ. τι θα πρεπει να κανει?

"ατονο κειμενο λογο κινητου, με την πρωτη ευκαιρια το διορθωνω"

Και όμως υπάρχει στο Ψ.Σ.

AGIOS_VASILIS · #17

parmenides51 έγραψε:
AGIOS_VASILIS έγραψε:Η άλλη με την ασύμπτωτη είναι δύσκολη!
Θα αξιοποιηθεί άραγε αυτό το υλικό από τους υπεύθυνους για την επιλογή των θεμάτων;
τι εννοείς; μια άλλη πηγή προτεινόμενων ασκήσεων είναι και τίποτα παραπάνω ή μήπως όχι;
για ποιον δηλαδή ιδιαίτερο λόγο θα έπρεπε να αξιοποιηθεί από τους θεματοδότες;
ύποπτα θα έλεγα ότι ρωτάς, ύποπτα ...

Γιατί να μην αξιοποιηθεί ;

mathxl · #18

Άκουσα ότι η δουλειά που γίνεται στις ψηφιακές σημειώσεις-ψηφιακό βοήθημα (σε καμμία περίπτωση ψηφιακό σχολείο ή φροντιστήριο) είναι χωρίς αμοιβή. Σίγουρα είναι μια καλή κίνηση που αξίζει στήριξης! Αβλεψίες μπορεί να υπάρχουν, όπως η παραπάνω με την εκτός ύλης άσκηση (δεν είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στη θέση αλλαγής κλάδου). Καλό θα ήταν όσα μέλη θέλουν, να δημιουργήσουν μια ομάδα που να κάνει επισημάνσεις διορθώσεις κτλ και να τις στείλει στους συναδέλφους που έχουν αναλάβει το έργο αυτό (είναι αξιέπαινοι εφόσον δεν λαμβάνουν κάποια αμοιβή) και αυτό για χάρη των παιδιών που δεν έχουν την ευχέρεια να πάνε φροντιστήριο!!.
Τώρα η αξιοποίηση αυτών των θεμάτων στις επερχόμενες εξετάσεις ίσως "στέκει" ως πολιτικό χαρτί εφόσον οι εκλογές γίνουν μετά τις εξετάσεις. Να πούνε, βρε αδερφέ...ορίστε...εάν έβλεπαν τις σημειώσεις που είχαμε αναρτήσει στο ψηφιακό βοήθημα τότε...εμείς πάντως σκεφτήκαμε την ελληνική οικογένεια....ή άλλο επιχείρημα του τύπου "τώρα δεν είναι αναγκαίο το φροντιστήριο διότι φροντίσαμε να..." κτλ

AGIOS_VASILIS · #19

mathxl έγραψε: Τώρα η αξιοποίηση αυτών των θεμάτων στις επερχόμενες εξετάσεις ίσως "στέκει" ως πολιτικό χαρτί εφόσον οι εκλογές γίνουν μετά τις εξετάσεις. Να πούνε, βρε αδερφέ...ορίστε...εάν έβλεπαν τις σημειώσεις που είχαμε αναρτήσει στο ψηφιακό βοήθημα τότε...εμείς πάντως σκεφτήκαμε την ελληνική οικογένεια....ή άλλο επιχείρημα του τύπου "τώρα δεν είναι αναγκαίο το φροντιστήριο διότι φροντίσαμε να..." κτλ

Ακριβώς

#20

parmenides51 έγραψε:
AGIOS_VASILIS έγραψε:...Θα αξιοποιηθεί άραγε αυτό το υλικό από τους υπεύθυνους για την επιλογή των θεμάτων;
τι εννοείς; μια άλλη πηγή προτεινόμενων ασκήσεων είναι και τίποτα παραπάνω ή μήπως όχι;
για ποιον δηλαδή ιδιαίτερο λόγο θα έπρεπε να αξιοποιηθεί από τους θεματοδότες;
ύποπτα θα έλεγα ότι ρωτάς, ύποπτα ...

AGIOS_VASILIS έγραψε:
mathxl έγραψε: Τώρα η αξιοποίηση αυτών των θεμάτων στις επερχόμενες εξετάσεις ίσως "στέκει" ως πολιτικό χαρτί εφόσον οι εκλογές γίνουν μετά τις εξετάσεις. Να πούνε, βρε αδερφέ...ορίστε...εάν έβλεπαν τις σημειώσεις που είχαμε αναρτήσει στο ψηφιακό βοήθημα τότε...εμείς πάντως σκεφτήκαμε την ελληνική οικογένεια....ή άλλο επιχείρημα του τύπου "τώρα δεν είναι αναγκαίο το φροντιστήριο διότι φροντίσαμε να..." κτλ
Ακριβώς

καλησπέρα σας

κύριοι να σημειώσω -να υπενθυμίσω; - ότι στον μαθηματικό ιστότοπο mathematica.gr απλώς συζητάμε (προτείνουμε και λύνουμε) Μαθηματικά.
Επομένως οι υποθέσεις και οι συζητήσεις για τις προθέσεις του υπουργείου και της επιτροπής θεμάτων δεν νομίζω ότι έχουν θέση στο mathematica.gr και, στο κάτω της γραφής, δεν έχουν για κανέναν νόημα. Αντιθέτως θα μπορούσαν να δημιουργήσουν μόνο άστοχες και επιζήμιες εντυπώσεις.
Οι όποιες επιλογές τόσο του υπουργείου, όσο και της επιτροπής θεμάτων βαρύνουν τους ίδιους τους φορείς.
Αν και εφ' όσον, εκ των υστέρων διαπιστωθεί κάποιο μαθηματικό έλλειμμα ή ατόπημα όσον αφορά τα θέματα των εξετάσεων (δυστυχώς έχει συμβεί κατά το παρελθόν), εδώ είμαστε να το σημειώσουμε.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ.

Μέλη σε σύνδεση