Τρία ύψη και μία διάμεσος

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Δίνεται τρίγωνο και θεωρούμε τα ύψη . Ονομάζουμε το σημείο τομής των ,
το σημείο τομής των και το σημείο τομής των .
Να αποδειχθεί ότι:
(α) Τα σημεία είναι συνευθειακά

(β) Η ευθεία είναι κάθετη στην διάμεσο του τριγώνου

[S.E.Louridas]

Θα ήθελα να αναφερθώ στο 2ο ερώτημα καθότι το πρώτο προκύπτει από τα αρμονικά συζυγή από πλήρες τετράπλευρο και από το ότι τα ύψη του τριγώνου είναι διχοτόμοι των γωνιών του ορθικού του :
Το πλήρες τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, επομένως το αντίστοιχο του σημείο του Miquel, έστω το , θα βρίσκεται στην
Προφανώς από αυτό διέρχονται οι κύκλοι
Παρατηρούμε ότι:

Αυτό οδηγεί στο ότι το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου που δίνει σαν συμπέρασμα ότι

S.E.Louridas

[silouan]

Το δεύτερο ερώτημα προκύπτει και αυτό άμεσα από το γεγονός ότι η είναι η πολική του ως προς τον κύκλο .

[S.E.Louridas]

Το δεύτερο ερώτημα προκύπτει και αυτό άμεσα από το γεγονός ότι η είναι η πολική του ως προς τον κύκλο .

Η ομορφιά της πολυφωνίας, αλλά ενίοτε και της πρωτοτυπίας.

S.E.Louridas

[vittasko]

Γνωστό πρόβλημα, γνωστή και η ακόλουθη γενίκευση.

Το (α) ζητούμενο αληθεύει για τυχόν σημείο στο εσωτερικό του δοσμέρνου τριγώνου και αποδεικνύεται άμεσα με αρμονικά συζυγή.

Πράγματι, από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η σημειοσειρά , όπου και είναι αρμονική και η σημειοσειρά όπου είναι επίσης αρμονική.

Θεωρώντας τώρα, το πλήρες τετράπλευρο συμπεραίνεται ότι η ευθεία περνάει από το σημείο ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα

Το (β) ζητούμενο, όπως προκύπτει από τη λύση που μας έδωσε ο Σιλουανός, ισχύει για κάθε περίπτωση των ως ομοκυκλικών σημείων σε κύκλο έστω και όχι απαραίτητα σε κύκλο με διάμετρο την πλευρά του

Ισχύει πάντοτε όπου είναι το κέντρο του κύκλου και αποδεικνύεται με βάση το παρακάτω θεώρημα :

ΘΕΩΡΗΜΑ. - Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο, κυρτό ή μη κυρτό, η ευθεία που συνδέει το περίκεντρο με το σημείο τομής των διαγωνίων του, είναι κάθετη στην ευθεί που συνδέει τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του.

Έτσι, στο πρόβλημα που έχει τεθεί ( γενίκευση ), το ζητούμενο προκύπτει από το εγγεγραμμένο στον κύκλο μη κυρτό τετράπλευρο όπου τα είναι τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του και το είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το παραπάνω θεώρημα αποδεικνύεται άμεσα με πολικές, όπως και πιο πάνω στη λύση του Σιλουανού. Δείτε Εδώ για μία στοιχειώδη απόδειξή του.

[S.E.Louridas]

Επειδή ο πλουραλισμός και ειδικά από τα γνωστά στα άγνωστα μονοπάτια ωφελεί επί της ουσίας, ας μου επιτραπεί να διαπραγματευτώ το όμορφο αυτό θέμα που εισηγήθηκε ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ στη γενική περίπτωση που ανέφερε ο Κώστας Βήττας και ο Σιλουανός (smar), αλλά κτίζοντας με άλλη νοοτροπία τη λύση πάνω στην γνωστή και απλή θεωρία του σημείου Miquel (και λέω απλή καθότι αποδεικνύεται σε δυό γραμμές και βέβαια στοιχειωδώς).
Συγκεκριμένα από το "Πάνω" σχήμα έχουμε κατά τα γνωστά:
Αφού το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο τότε από σημείο της περνούν οι κύκλοι , από όπου παίρνουμε την γνωστή πρόταση:
Με βάση τώρα το ''Κάτω" σχήμα και τη βασική πρόταση της παράθεσης (με κάποια αλλαγή των συμβολισμών) παίρνουμε:


(*)

Έστω εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο
Αν θεωρήσουμε
να εξετάσετε αν ισχύει η σχέση:

Λύση:
Ναί ισχύει και αυτό διότι,

(**) ΕΔΩ

S.E.Louridas