IMC 1994/1/3

[Demetres]

Έστω και έστω ένα σύνολο διακεκριμένων αρρήτων. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν διακεκριμένα στοιχεία έτσι ώστε αν οι μη αρνητικοί ρητοί, όχι όλοι ίσοι με μηδέν, τότε ο να είναι άρρητος.

Υ.Γ. Κάτι μου θυμίζει. Ίσως και να την ξανασυζητήσαμε.

[GVlachos]

Θεωρούμε το μέγιστο φυσικό τέτοιο ώστε ο να είναι άρρητος για κάθε ακολουθία και έστω . Προφανώς το υπάρχει, αφού για έναν άρρητο το άθροισμα αυτό είναι πάντα άρρητος. Κάθε αριθμός που δεν ανήκει στο σύνολο αλλά ανήκει στο γράφεται στη μορφή . Υπάρχουν τουλάχιστον τέτοιοι αριθμοί και οποιοδήποτε άθροισμά τους θα είναι της μορφής , όπου ρητός και μη αρνητικοί ρητοί και τουλάχιστον ένας θετικός, οπότε το άθροισμα θα είναι άρρητος.

[Ilias_Zad]

Κάθε αριθμός που δεν ανήκει στο σύνολο γράφεται στη μορφή .

Ωραία ιδέα. Μπορείς να εξηγήσεις όμως πιο αναλυτικά πως βγάζεις το παραπάνω;

Για διδακτικούς κυρίως λόγους ας δούμε μία ακόμα λύση. Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο που παράγει το με το πάνω από το . Τότε λόγω του ότι το είναι άπειρο σαν σώμα υπάρχει γραμμική από το στο με και για στο .(Το γιατί , το αφήνω σαν ωραία άσκηση).
Τότε υπάρχουν ώστε να έχουν το ίδιο πρόσημο. Άρα για μη αρνητικά , και άρα άρρητος.

[GVlachos]

Κάθε αριθμός που δεν ανήκει στο σύνολο γράφεται στη μορφή .

Ωραία ιδέα. Μπορείς να εξηγήσεις όμως πιο αναλυτικά πως βγάζεις το παραπάνω;

Για διδακτικούς κυρίως λόγους ας δούμε μία ακόμα λύση. Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο που παράγει το με το πάνω από το . Τότε λόγω του ότι το είναι άπειρο σαν σώμα υπάρχει γραμμική από το στο με και για στο .(Το γιατί , το αφήνω σαν ωραία άσκηση).
Τότε υπάρχουν ώστε να έχουν το ίδιο πρόσημο. Άρα για μη αρνητικά , και άρα άρρητος.

Αφού το σύνολο είναι μέγιστο, για κάθε με ένας τουλάχιστον αριθμός της μορφής , όπου τα είναι μη αρνητικοί ρητοί όχι όλοι ίσοι με μηδέν, θα είναι ρητός.