Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Μερικά "Σωστά - Λάθος" που μπορεί να συναντήσουμε σε υποερωτήματα ασκήσεων.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Στην περίπτωση που απαντήσουμε "Σωστό", πρέπει να δώσουμε απόδειξη, στην περίπτωση "Λάθους", δίνουμε αντιπαράδειγμα (δηλ. ένα παράδειγμα που αναιρεί την πρόταση)

α) Ισχύει $\displaystyle{\lambda \cdot \left[ {G\left( x \right)} \right]_\alpha ^\beta = \left[ {\lambda \cdot G\left( x \right)} \right]_\alpha ^\beta }$ για κάθε $\displaystyle{\lambda }$ πραγματικό αριθμό.

β) Αν οι συναρτήσεις $\displaystyle{fog,\,\,\,g}$ είναι γνησίως αύξουσες σ' ένα διάστημα

, τότε και η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο

.

γ) Ισχύει $\displaystyle{{i^k} = {i^m} \Leftrightarrow k = m}$ για κάθε $\displaystyle{k,m}$ ακέραιους αριθμούς.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ημερομηνία λήξης: Πριν την ημέρα που λέμε "ψέμματα"

minast1994 · #2

α)Σ
β)Σ
γ)Λ m=4,k=8

για το α) δεν είμαι σίγουρος ...πολυ προφανές μου φαίνεται

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Μια χαρά τα είπες!! Αποδείξεις έχουμε;

minast1994 · #4

το α είναι απλό.με μία επημερίστική
Το β έχει ως εξής...
έστω x_1,χ_2

με

, αφού

γνήσια αύξουσα τότε g(x_1)<g(x_2)

έστω τώρα ότι η f δεν είναι γνήσια αύξουσα , θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος a,b

με

τέτοιο ώστε $f(a)\geq f(b)$ ,ας είναι αυτό το ζεύγος το g(x_1),g(x_2)

τότε $f(g(x_1))\geq f(g(x_2))$
άτοπο...αφού η f(g(x))

γνήσια αύξουσα

minast1994 · #5

Επαναφορά

#6

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
β) Αν οι συναρτήσεις $\displaystyle{fog,\,\,\,g}$ είναι γνησίως αύξουσες σ' ένα διάστημα , τότε και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο .

minast1994 έγραψε: β)Σ

Χμμμ. Δεν είναι σωστή η απάντηση. Δίνω παράδειγμα παρακάτω. Το λάθος στον συλλογισμό είναι στο σημείο που κοκκίνισα.

minast1994 έγραψε: Το β έχει ως εξής...
έστω με , αφού γνήσια αύξουσα τότε
έστω τώρα ότι η f δεν είναι γνήσια αύξουσα , θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος με
τέτοιο ώστε $f(a)\geq f(b)$ ,ας είναι αυτό το ζεύγος το τότε $f(g(x_1))\geq f(g(x_2))$
άτοπο...αφού η γνήσια αύξουσα

Παράδειγμα. Για τις $f(x)=x^2, \, g(x)=e^x$ στο $\mathbb R$ και για x_1<x_2

έχουμε

$\displaystyle{f(g(x_1)) = f(e^{x_1}) = \left( e^{x_1} \right)^2= e^{2x_1} < e^{2x_2}= f(g(x_2))}$ .

Συμπεραίνουμε ότι η $\displaystyle{fog}$ , όπως και η

, είναι γνήσια αύξουσα. Πλην όμως η

δεν είναι γνήσια αύξουσα.

Το αφήνω ως άσκηση στους μαθητές να μας πουν γιατί είναι λάθος το σημείο που κοκκίνισα.

Φιλικά,
Μιχάλης

Νασιούλας Αντώνης · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: Χμμμ. Δεν είναι σωστή η απάντηση. Δίνω παράδειγμα παρακάτω. Το λάθος στον συλλογισμό είναι στο σημείο που κοκκίνισα.
minast1994 έγραψε: Το β έχει ως εξής...
έστω με , αφού γνήσια αύξουσα τότε
έστω τώρα ότι η f δεν είναι γνήσια αύξουσα , θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος με
τέτοιο ώστε $f(a)\geq f(b)$ ,ας είναι αυτό το ζεύγος το τότε $f(g(x_1))\geq f(g(x_2))$
άτοπο...αφού η γνήσια αύξουσα
Παράδειγμα. Για τις $f(x)=x^2, \, g(x)=e^x$ στο $\mathbb R$ και για έχουμε
$\displaystyle{f(g(x_1)) = f(e^{x_1}) = \left( e^{x_1} \right)^2= e^{2x_1} < e^{2x_2}= f(g(x_2))}$ .
Συμπεραίνουμε ότι η $\displaystyle{fog}$ , όπως και η , είναι γνήσια αύξουσα. Πλην όμως η δεν είναι γνήσια αύξουσα.
Το αφήνω ως άσκηση στους μαθητές να μας πουν γιατί είναι λάθος το σημείο που κοκκίνισα.
Φιλικά,
Μιχάλης

Κύριε Μιχάλη χαιρετώ.

Θαρρώ πως το πρόβλημα βρίσκεται στο γεγονός ότι τα a,b

δεν ανήκουν απαραίτητα στο Σ.Τ. της

.
Πράγματι, στο αντιπαράδειγμα που δώσατε, υπάρχουν a,b

με

και $f(a)\geq f(b)$ τα οποία όμως δεν μπορούν να είναι και τα δυο ίσα με τιμές της

, αφού ένα εκ των a,b

θα είναι αρνητικό και η

έχει Σ.Τ. τους θετικούς πραγματικούς.

Ο τρόπος δηλαδή που προτείνει ο Μηνάς (Μηνά, καλή επιτυχία στις εξετάσεις

) δουλεύει μόνο για τα a,b

που ανήκουν στο Σ.Τ. της

, το οποίο δεν συμπίπτει αναγκαστικά με το Π.Ο. της σύνθετης.
Έτσι, αν στο παράδειγμά μας εργαστούμε στους θετικούς πραγματικούς (Σ.Τ. της

), τότε το συμπέρασμα που θα εξάγουμε είναι σωστό: στους θετικούς πραγματικούς η

είναι γνησίως αύξουσα.

Χριστός Ανέστη

Συμπλήρωση:
To σωστό νομίζω θα ήταν:
β) Αν οι συναρτήσεις $\displaystyle{fog,\,\,\,g}$ είναι γνησίως αύξουσες σ' ένα διάστημα

, τότε και η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο g(A)

.

minast1994 · #8

Σε ευχαριστώ πολυ Αντώνη για τις ευχές σου ,Καλη επιτυχία και σε εσένα

Μιας και υπάρχει το ποστ...ας βάλω και εγώ ένα σωστό-λάθος ,όχι δύσκολο αλλα όπως πιστεύω διδακτικό

Αν μια συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, γνησίως μονότονη,και παρουσιάζει ακρότατο στο x=x_0

τότε πάντα $f'(x_0)\neq 0$

Μάκης Χατζόπουλος · #9

Εύστοχες οι παρατηρήσεις του Μιχάλη και του Αντώνη! Οπότε το σωστό είναι

Νασιούλας Αντώνης έγραψε: β) Αν οι συναρτήσεις $\displaystyle{fog,\,\,\,g}$ είναι γνησίως αύξουσες σ' ένα διάστημα , τότε και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο .

#10

minast1994 έγραψε:Σε ευχαριστώ πολυ Αντώνη για τις ευχές σου ,Καλη επιτυχία και σε εσένα

Μιας και υπάρχει το ποστ...ας βάλω και εγώ ένα σωστό-λάθος ,όχι δύσκολο αλλα όπως πιστεύω διδακτικό

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, γνησίως μονότονη,και παρουσιάζει ακρότατο στο τότε πάντα $f'(x_0)\neq 0$

Καλησπέρα Μηνά.
Η απάντηση μου, σύμφωνα πάντα με την εκφώνηση είναι "Λάθος"
π.χ
$\displaystyle{ f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x,x \in \left[ {0,1} \right]} \\ {2012,x = 2012} \\ \end{array}} \right. }$
Παραγωγίσιμη στο [0,1]

, γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της και έχει μέγιστο το 2012

όταν

H παράγωγος της στο 2012

όμως δεν ορίζεται καν.

Νασιούλας Αντώνης · #11

Κύριε Χρήστο, υποθέτω ότι το x_0

ο Μηνάς θέλει να ανήκει στο $\Delta$ -αν και αυτό δεν φαίνεται κάπου στην εκφώνηση.
Ένα αντιπαράδειγμα που 'χα σκεφτεί είναι το εξής:
Έστω a>0

. Τότε η

είναι παραγωγίσιμη στο $\Delta=[0,a]$ , γνησίως μονότονη σε αυτό και παρουσιάζει ακρότατο στο $x_0=0 \in \Delta$ .
Όμως f'(0)=0

.

#12

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Κύριε Χρήστο, υποθέτω ότι το ο Μηνάς θέλει να ανήκει στο $\Delta$ -αν και αυτό δεν φαίνεται κάπου στην εκφώνηση.

Εντάξει Αντώνη. Όμως όταν θέτουμε ένα ερώτημα σωστού-λάθους δεν πρέπει ο λύτης να υποθέτει!

Νασιούλας Αντώνης · #13

chris_gatos έγραψε:
Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Κύριε Χρήστο, υποθέτω ότι το ο Μηνάς θέλει να ανήκει στο $\Delta$ -αν και αυτό δεν φαίνεται κάπου στην εκφώνηση.
Εντάξει Αντώνη. Όμως όταν θέτουμε ένα ερώτημα σωστούδεν πρέπει ο λύτης να υποθέτει!

Εννοείται πως συμφωνώ!
Γενικά από την αρχή η εκφώνηση μου φάνηκε λίγο προβληματική και γι αυτό δεν έστειλα απάντηση.
Δεν διευκρινίζεται αν το x_0

ανήκει στο Δ, αν είναι γνησίως μονότονη στο Δ ή στο Π.Ο. της (όταν λέμε σκέτο γνησίως μονότονη εννοούμε στο Π.Ο.) και τέλος αν το Δ συμπίπτει με το Π.Ο. της ή είναι υποσύνολο αυτού.
Είναι πράγματα που με προβλημάτισαν όταν το σκεφτόμουνα. Ενδεχομένως χωρίς λόγο.

Το αντιπαράδειγμα πάντως που έδωσα νομίζω ότι καλύπτει την πιο "σφιχτή" περίπτωση:
H

να είναι ορισμένη, παραγωγίσιμη και γνησίως μονότονη στο Δ και να παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο του Δ.
Έτσι με σιγουριά μπορούμε να πούμε ΛΑΘΟΣ.

minast1994 · #14

Έχετε δίκιο ....μου ξέφυγε χθές που το δημοσίευσα
Πάντως εννοώ ότι η συνάρτηση είναι ορισμένη στο Δ ...

Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Re: Γ - Λυκείου : Σωστά - Λάθος

Μέλη σε σύνδεση