δύναμη - απορία

blondy · #1

Γιατί οι δυνάμεις στους μιγαδικούς ορίζονται μόνο όταν οι εκθέτες είναι ακέραιοι;

Ιστοσελίδα · #2

Ορίζουμε δυνάμεις με εκθέτη μιγαδικό, δηλαδή $z^{w}$ με $z , w\in\mathbb{C} \; , z\neq 0 .$

Ορίζουμε: $z^{w}=e^{w\log z} \; , z\neq 0$ και έχουμε επιλέξει ένα διάστημα $[a,a+2\pi)$ από το οποίο η συνάρτηση arg

παίρνει τις τιμές της (δηλαδή έναν κλάδο του $\log z$ ).

Αποδεικνύεται όμως ότι η $z^{w}$ είναι μονότιμη συνάρτηση, δηλαδή η τιμή της δεν εξαρτάται από την επιλογή του κλάδου της $\log z ,$
αν και μόνο αν ο

είναι ακέραιος. Αν ο

δεν είναι ακέραιος, τότε η $z^{w}$ είναι πλειότιμη συνάρτηση, υπό την έννοια ότι αλλάζοντας
το διάστημα $[a,a+2\pi)$ παίρνουμε διαφορετική τιμή.

Θυμίζουμε ότι: αν $z=re^{i\theta} \; , r>0 \; , a\leq \theta < a+2\pi$ τότε $\log z=\ln r + i\theta .$

Για παράδειγμα, αν η συνάρτηση arg

παίρνει τιμές στο διάστημα $[0,2\pi)$ τότε $i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=e^{i\pi/2} \; , \; \log i=\ln 1+\frac{\pi}{2}i =\frac{\pi}{2}i$
και $i^{-2i} = e^{-2i\log i} =e^{-2i\frac{\pi}{2}i} = e^{\pi}.$
Αν επιλέξουμε το διάστημα $[2\pi ,4\pi)$ τότε $i^{-2i} = e^{5\pi}.$

δύναμη - απορία

δύναμη - απορία

Re: δύναμη - απορία

Μέλη σε σύνδεση