Συνάρτηση ολοκληρώσιμη

#1

Αν η $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ είναι μονότονη και η $\displaystyle{F:\Bbb{R} \to \Bbb{R}, F(x)=\int_0^xf(t)dt }$ είναι παραγωγίσιμη,

να δειχθεί ότι η

είναι συνεχής.

(Ρουμάνικη Ολυμπιάδα)

peter · #2

Έστω ότι η

είναι αύξουσα και έστω $x\in \mathbb R$ . Τότε, για x<t<s

έχουμε $\displaystyle \frac{F(s)-F(t)}{s-t}=\frac{1}{s-t}\int_t^s f\geq f(t)$ . Αφήνοντας το $t\downarrow x$ παίρνουμε $\displaystyle \frac{F(s)-F(x)}{s-x}\geq f(x+)$ . Όμοια δείχνουμε ότι $\displaystyle \frac{F(s)-F(x)}{s-x}\leq f(x-)$ για s<x

.

Καθώς, η

είναι παραγωγίσιμη στο

προκύπτει ότι f(x-)=f(x+)

.

Συνάρτηση ολοκληρώσιμη

Συνάρτηση ολοκληρώσιμη

Re: Συνάρτηση ολοκληρώσιμη

Μέλη σε σύνδεση