Διατεταγμένα σύνολα και ρητοί

#1

Δίνεται ένα ολικώς διατεταγμένο αριθμήσιμο σύνολο

. Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση $f: X \to \mathbb{Q}$ η οποία να διατηρεί την διάταξη.

#2

Demetres έγραψε:Δίνεται ένα ολικώς διατεταγμένο αριθμήσιμο σύνολο . Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση $f: X \to \mathbb{Q}$ η οποία να διατηρεί την διάταξη.

Υποθέτουμε ότι το

είναι απειροσύνολο, γιατί στην περίπτωση του πεπερασμένου συνόλου τα πράγματα είναι μάλλον εύκολα.

Ονομάζω

τη σχέση ολικής διάταξης στο

(δηλαδή όταν γράφουμε a*b

σημαίνει ότι το

προηγείται του

)

Έστω

μία αρίθμηση του

και

μία αρίθμηση του $\Bbb{Q}$ .

Ορίζω f(a_1)=r_1

και υποθέτω ότι έχω ορίσει το f(a_i)

για κάθε θετικό ακέραιο

με

.

Τότε θέτω f(a_n)=r_m

, όπου

είναι ο μικρότερος δείκτης για τον οποίο ισχύει f(a_i)<r_m

για εκείνα τα

$i \in \{1,2,...,n-1\}$ για τα οποία a_i*a_n

.

Άρα τελειώσαμε.*

*Με τον ίδιο τρόπο θα μπορούσαμε να ορίσουμε και απεικόνιση που διατηρεί τη διάταξη από το $X \to \Bbb{Q} \cap (a,b)$ ,

λόγω της πυκνότητας ως προς τη διάταξη του $\Bbb{Q} \cap (a,b)$ ( a<b

)

Διατεταγμένα σύνολα και ρητοί

Διατεταγμένα σύνολα και ρητοί

Re: Διατεταγμένα σύνολα και ρητοί

Μέλη σε σύνδεση