AΝΙΣΟΤΗΤΑ

tasosty · #1

ΝΔΟ $\sum{\frac{a}{1-a^2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

#2

tasosty έγραψε:

ΝΔΟ $\sum{\frac{a}{1-a^2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Την έχουμε ξαναδεί, αλλά για να μην την ψάχνω παραθέτω μια απόδειξη:

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι για $\displaystyle{a\in (0,1)}$

$\displaystyle{\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{3}}+a^3\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{3\sqrt{3}}a^3}=a}$

άρα

$\displaystyle{\frac{2}{3\sqrt{3}}+a^3\geq a\Rightarrow \frac{1}{a-a^3}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}}$

άρα

$\displaystyle{\frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}$

άρα

$\displaystyle{\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

#3

Πολλή ωραία λύση.

Αλλιώς: Η $\displaystyle{\frac {x}{1-x^2}}$ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω (ένας γρήγορος τρόπος να το δούμε είναι με δεύτερη παράγωγο $\displaystyle{ \frac {x(3+x^2)}{2(1-x^2)} >0}$ αλλά μπορούμε και στοιχειωδώς). Άρα από Jensen το αριστερό μέλος είναι $\ge 3 \frac {\sqrt 3 /3}{ 1- 1/3} = 3 \sqrt 3/2$ με ισότητα αν $a=b=c = \sqrt 3/3$ , που ικανοποιούν τον περιορισμό a^2+b^2+c^2=1

.

Φιλικά,

Μιχάλης

AΝΙΣΟΤΗΤΑ

AΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: AΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: AΝΙΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση