ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

#1

Μια και αύριο το πρωί διαγωνίζονται οι διακριθέντες του πρώτου γύρου "Ο ΘΑΛΗΣ" της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, στον δεύτερο κατά σειρά γύρο "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ", θα ήθελα να ευχηθώ σε όλους τους διαγωνιζομένους

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ και ΚΑΛΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Αύριο με το καλό θα έχουμε την ευκαιρία να σχολιάσουμε και να λύσουμε τα θέματα του διαγωνισμού.

Αλέξανδρος Συγκελάκης

#2

Καθώς έχει περάσει η ώρα λήξης του διαγωνισμού, επισυνάπτω παρακάτω τα θέματα του διαγωνισμού "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" που διενεργήθηκε σήμερα το πρωι.

Ας σχολιάσουμε κι ας λύσουμε τα θέματα εδώ για να τα έχουμε συγκεντρωμένα.

Αλέξανδρος

k-ser · #3

Να δώσω μια απάντηση στο Πρόβλημα 4 της Γ΄Λυκείου.

Πρόβλημα 4
Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$ .
Αν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y

ισχύει η σχέση
$f\left( {f\left( {f(x)} \right) - f(y)} \right) = f(x) - f\left( {f(y)} \right)$ (1)
να αποδείξετε ότι η

είναι περιττή.

Απάντηση
Στην (1) θέτουμε f(x)=y

και εφόσον $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$
προκύπτει:
$f\left( 0 \right) = y - f\left( {f(y)} \right),\forall y \in\mathbb{R}$ (2)

Στη (2)
-Για y=f(0)

παίρνουμε
$f\left( {f\left( {f(0)} \right)} \right) = 0$ (3)
-Για y=0

$f\left( {f(0)} \right) = - f(0)$ άρα $f\left( {f\left( {f(0)} \right)} \right)=f\left( { - f(0)} \right)$
και λόγω της (3)
$f\left( { - f(0)} \right)=0$ (4)
-Για y=-f(0)

$f\left( {f\left( {-f(0)} \right)} \right)=-f(0)-f(0)$
και λόγω της (4) f(0)=-2f(0)

άρα

Εφόσον $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$
υπάρχει

ώστε:

. Για το

αυτό, η αρχική σχέση (1) και με δεδομένο ότι f(0)=0

, γίνεται
$f\left( { - f(y)} \right) = - f\left( {f(y)} \right)\forall y \in\mathbb{R}$
Όμως $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$ και συνεπώς η τελευταία ισότητα δίνει:
$f(-x)=-f(x)\forall x \in\mathbb{R}$
Άρα η

είναι περιττή.

k-ser · #4

... και μία στο Πρόβλημα 3, μετά... θα πάρω τα βουνά!

Πρόβλημα 3

Να προσδιορίσετε την τιμή του θετικού ακέραιου

και μη σταθερό πολυώνυμο P(x)

με
πραγματικούς συντελεστές, βαθμού

έτσι ώστε να ισχύει:
$(x-k)P(3x)=k(x-1)P(x), \forall x \in \mathbb{R}$ (1).

Απάντηση

Για x=k

η (1) μας δίνει: k(k-1)P(k)=0

Αν υποθέσουμε ότι k=1

η (1) γίνεται $P(3x)=P(x), \forall x \in \mathbb{R}$ , αυτό όμως μας οδηγεί εύκολα,(υποθέστε τη μορφή του P(x)

), στο ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό πράγμα άτοπο. Συνεπώς $k\ne1$ .
Άρα P(k)=0

.

Αν

με $a_n\ne0$ τότε
P(3x)=3^na_nx^n+....+3a_1x+a_0

και έτσι το πολυώνυμο του α΄μέλους της (1) έχει μεγιστοβάθμιο όρο
$3^na_nx^{n+1}$
και το πολυώνυμο του β΄μέλους
$ka_nx^{n+1}$
άρα πρέπει
k=3^n

Για $x=3^{n-1}$ εύκολα από την (1) προκύπτει:
$P(3^{n-1})=0$
και ομοίως
P(3^r)=0

με

Άρα το

έχει n ρίζες τις: 3,3^2,...3^n

οπότε θα έχει τη μορφή:
P(x)=a_n(x-3)(x-3^2).....(x-3^n)

Παρατηρούμε ότι το παραπάνω P(x)

ικανοποιεί την (1) για οποιοδήποτε $a_n\ne0$

#5

Κωστα πως σου φαινεται η λυση
Για ψ=χ εχουμε
$f\left( {f\left( {f(x)} \right) - f(x)} \right) = f(x) - f\left( {f(x)} \right)$ (1)
kαι για α= $f(x) - f\left( {f(x)} \right)$ εχουμε f(a)=-a
πολυ γρηγορη ,κατι δεν παει καλα.....

k-ser έγραψε:Να δώσω μια απάντηση στο Πρόβλημα 4 της Γ΄Λυκείου.

Πρόβλημα 4
Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$ .
Αν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς ισχύει η σχέση
$f\left( {f\left( {f(x)} \right) - f(y)} \right) = f(x) - f\left( {f(y)} \right)$ (1)
να αποδείξετε ότι η είναι περιττή.

Απάντηση
Στην (1) θέτουμε και εφόσον $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$
προκύπτει:
$f\left( 0 \right) = y - f\left( {f(y)} \right),\forall y \in\mathbb{R}$ (2)

Στη (2)
-Για παίρνουμε
$f\left( {f\left( {f(0)} \right)} \right) = 0$ (3)
-Για
$f\left( {f(0)} \right) = - f(0)$ άρα $f\left( {f\left( {f(0)} \right)} \right)=f\left( { - f(0)} \right)$
και λόγω της (3)
$f\left( { - f(0)} \right)=0$ (4)
-Για
$f\left( {f\left( {-f(0)} \right)} \right)=-f(0)-f(0)$
και λόγω της (4)
άρα

Εφόσον $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$
υπάρχει ώστε: . Για το αυτό, η αρχική σχέση (1) και με δεδομένο ότι , γίνεται
$f\left( { - f(y)} \right) = - f\left( {f(y)} \right)\forall y \in\mathbb{R}$
Όμως $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$ και συνεπώς η τελευταία ισότητα δίνει:
$f(-x)=-f(x)\forall x \in\mathbb{R}$
Άρα η είναι περιττή.

antonis_math · #6

Δεν έχεις δείξει πως το α μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός.

k-ser · #7

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Κωστα πως σου φαινεται η λυση
Για ψ=χ εχουμε
(1)
kαι για α= εχουμε f(a)=-a
πολυ γρηγορη ,κατι δεν παει καλα.....

antonis_math έγραψε:Δεν έχεις δείξει πως το α μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός.

Κώστα,
ο Αντώνης έχει δίκιο. Πρέπει επιπλέον να δείξεις ότι για κάθε a πραγματικό υπάρχει

τέτοιο ώστε
f(x)-f(f(x))=a

.

Αντώνη, με την ευκαιρία, Χρόνια Πολλά.

antonis_math · #8

Ευχαριστώ

#9

Βάζω τη λύση που έδωσα στη συναρτησιακή το πρωί. Την δίνω τώρα γιατί είμουν σίγουρος ότι θα είναι από τις πρώτες που θα λυνόταν για να μη χαλάσω το ενδιαφέρον. Μάλιστα προσδιορίζει ακριβώς τη συνάρτηση που ικανοποιεί τη δοσμένη (αν δεν έχω χάσει κάπου).

Για x=y=0

παίρνουμε $f\left(f\left(f(0)\right)-f(0)\right)=f(0)-f\left(f(0)\right)$

Θέτοντας $\alpha=f\left(f(0)\right)-f(0)$ παίρνουμε $\boxed{f(\alpha)=-\alpha}$

Για $x=-\alpha$ και $y=\alpha$ στην αρχική και χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση παίρνουμε $f\left(f\left(f(-\alpha)\right)+\alpha\right)=0$

οπότε θέτοντας $\beta=f\left(f(-\alpha)\right)+\alpha$ παίρνουμε $\boxed{f(\beta)=0}$

Τέλος για $y=\beta$ στην αρχική και χρησιμοποιώντας την προηγούμενη, παίρνουμε $f\left(f\left(f(\beta)\right)\right)=f(x)-f(0)$ απ' όπου

$f(x)=c, \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ και

σταθερά. Βάζοντάς την στην αρχική παίρνουμε f(0)=0

άρα

$\boxed{f(x)=0, \ \ \forall x\in\mathbb{R}}$ άρα περιττή.

Χρόνια Πολλά στον Αντώνη και σε όλους τους εορτάζοντες!!

Αλέξανδρος

mathxl · #10

cretanman έγραψε:Βάζω τη λύση που έδωσα στη συναρτησιακή το πρωί. Την δίνω τώρα γιατί είμουν σίγουρος ότι θα είναι από τις πρώτες που θα λυνόταν για να μη χαλάσω το ενδιαφέρον. Μάλιστα προσδιορίζει ακριβώς τη συνάρτηση που ικανοποιεί τη δοσμένη (αν δεν έχω χάσει κάπου).

Για παίρνουμε $f\left(f\left(f(0)\right)-f(0)\right)=f(0)-f\left(f(0)\right)$

Θέτοντας $\alpha=f\left(f(0)\right)-f(0)$ παίρνουμε $\boxed{f(\alpha)=-\alpha}$

Για $x=-\alpha$ και $y=\alpha$ στην αρχική και χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση παίρνουμε $f\left(f\left(f(-\alpha)\right)+\alpha\right)=0$

οπότε θέτοντας $\beta=f\left(f(-\alpha)\right)+\alpha$ παίρνουμε $\boxed{f(\beta)=0}$

Τέλος για $y=\beta$ στην αρχική και χρησιμοποιώντας την προηγούμενη, παίρνουμε $f\left(f\left(f(\beta)\right)\right)=f(x)-f(0)$ απ' όπου

$f(x)=c, \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ και σταθερά. Βάζοντάς την στην αρχική παίρνουμε άρα

$\boxed{f(x)=0, \ \ \forall x\in\mathbb{R}}$ άρα περιττή.

Χρόνια Πολλά στον Αντώνη και σε όλους τους εορτάζοντες!!

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε
η f πρέπει να έχει σύνολο τιμών το R...άρα δεν μπορεί να είναι σταθερή
Νομίζω ότι f(x)= - x
Θα προσπαθήσω να το αποδείξω

ΥΓ Χρόνια πολλά σε όλους τους Αντώνηδες

#11

Πού βρίσκεται το λάθος στους συλλογισμούς μου? Μήπως άραγε έχει κανένα πρόβλημα η άσκηση? Φυσικά δεν το λέω με κακή διάθεση απλά κάποιος συνάδελφος το πρωί μου είπε ότι (δίχως να την έχει δει καλά) κατέληξε σε κάποια προβληματική σχέση από την οποία προέκυπτε ότι δεν υπήρχε τέτοια συνάρτηση.

Αλέξανδρος

#12

Καλησπέρα και από εμένα!
Τώρα πια (χωρίς τις υποχρεώσεις του στρατού...

) μπορώ και εγώ να συμμετέχω ενεργά στο club!
Να συγχαρώ όλους όσους βοήθησαν για την δημιουργία του Mathematica, και ιδιαιτέρως τον πολύ καλό μου φίλο Αλέξανδρο!
Όσο τώρα για το πρόβλημα, υπάρχει τέτοια συνάρτηση π.χ η f(x)=x

.
Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

mathxl · #13

Νομίζω ότι το λάθος είναι στο τέλος , όπου λες για y = β στην αρχική και χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ΄(μετά δίνεις μία σχέση που δεν ισχύει). Σύμφωνα με αυτά που λες και αντικατάσταση στην αρχική παίρνουμε f(f(f(x)))=f(x)
Δίνω την δική μου προσέγγιση όπου έχουμε ωσ λύση την f (x )= -x ( δεν ξέρουμε εάν είναι η μοναδική..ή μήπως ξέρουμε;) με μπόλικες επιφυλάξεις

: eikona.png (20.85 KiB) Προβλήθηκε 4275 φορές

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Έχουμε προφανείς λύσεις τις χ και -χ. Είναι μοναδικές;;;

#14

Για να πώ την αλήθεια δεν έχω καταλάβει πού ακριβώς υπάρχει το πρόβλημα στη λύση μου παρόλο που καταλαβαίνω την ένστασή σου για το σύνολο τιμών. Θα παρακαλούσα κι άλλους συναδέλφους να το κοιτάξουν να μας πουν τη γνώμη τους. Το μόνο που κάνω εγώ είναι να βρίσκω κάποιες σχέσεις για συγκεκριμένους αριθμούς τις οποίες χρησιμοποιώ παρακάτω. Εάν σε μία συναρτησιακή βγάλουμε π.χ. ότι f(0)=1

και

τότε δεν μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε παρακάτω? Το ίδιο εκτιμώ ότι κάνω κι εγώ. Επίσης εάν κάποιες συνάρτησεις προκύψουν από τα δεδομένα της άσκησης τότε ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ είναι οι ΜΟΝΕΣ πιθανές λύσεις της άσκησης. Αν δηλαδή καμία από αυτές δεν επαληθεύει τότε απλά η συναρτησιακή είναι ΑΔΥΝΑΤΗ. Άρα αν από τη συγκεκριμένη άσκηση βγάλεις ότι f(x)=-x

τότε αν δεν είναι αυτή η λύση της συναρτησιακής, η συναρτησιακή είναι αδύνατη. Όμως το τελευταίο βήμα στο συνημμένο που έχεις βάλει δεν είναι σωστό. Σχολιάστηκε και στην προηγούμενη σελίδα από τον Κο Σερίφη σε απάντηση ενός μηνύματος του Κώστα Τηλεγραφου.Γι' αυτό το λόγο η f(x)=x

είναι κι αυτή λύση της συναρτησιακής χωρίς να προκύπτει από τη διαδικασία που κάνεις.

Νίκο Κατσίπη καλώς ήρθες στην παρέα μας. (Ο Νίκος ήταν συμφοιτητής μου στην Κρήτη στο μεταπτυχιακό, βαθύς γνώστης της Άλγεβρας & Θεωρίας Αριθμών, άλλωστε η διπλωματική του στα Θεωρητικά Μαθηματικά είναι πάνω σε επίλυση διοφαντικών εξισώσεων και συγκεκριμένα σε μία μέθοδο για την οποία ο Alan Baker είχε πάρει τότε το βραβείο fields).

Αλέξανδρος

k-ser · #15

cretanman έγραψε:Τέλος για y=β στην αρχική και χρησιμοποιώντας την προηγούμενη, παίρνουμε

Αλέξανδρε,
η σχέση που παίρνεις στο παραπάνω σημείο είναι λάθος!
Υπάρχουν όντως συναρτήσεις που ικανοποιούν τη δοσμένη σχέση και αυτές είναι οι f(x)=x, f(x)=-x , τις οποίες δίνει ο mathxl στην απόδειξή του η οποία έχει λάθος στο σημείο:
Οι w, u διατρέχουν το IR αλλά το άθροισμά τους δεν είναι απαραίτητο να το κάνει!

#16

Ωχ... έχετε δίκιο. Πάνω στη βιασύνη μου έβαλα και όπου $x=\beta$ και το χειρότερο είναι ότι όσες φορές κι αν το διάβασα δεν το είδα ούτε μία φορά! Ζητώ συγγνώμη από όλους σας! Ευχαριστώ πολύ τους mathxl και Κώστα Σερίφη που μπήκαν στον κόπο να απαντήσουν στη χαζή μου απάντηση

Θέτω λοιπόν το extra ερώτημα: Μήπως μπορούμε με κάποιο τρόπο να βρούμε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη δοσμένη?

Αλέξανδρος

Djimmakos · #17

Σήμερα έδινα και εγώ για τον Ευκλείδη της Α' Λυκείου και θέλω να ρωτήσω κάτι:

Το τέταρτο θέμα που ζητούσε τον τριψήφιο αριθμό δεν μπορούσα να το λύσω με πράξεις και διάφορες σχέσεις και έτσι άρχισα να παίρνω αριθμούς στην τύχη μέχρι που έπεσα πάνω στον σωστό!
Στην κόλλα λοιπόν έγραψα κατευθείαν τον αριθμό! Πιστεύετε ότι θα τις πάρω τις 5 μονάδες;

mathxl · #18

Kser
Έχεις δίκιο, κάνω λάθος στο τελευταίο βήμα όπου χάνω την ανεξαρτησία των μεταβλήτων w,u
Στην ουσία βάζω στην (2) όπου x το y και στην (3) το ατίστροφο
Εάν οι w,u διατηρούσαν την ανεξαρτησία τους τότε θα μπορούσαν να πάρουν κατάλληλες τιμές ώστε το άθροισμα τους να διατρέχει το R

#19

Για τον Djimmakos: Καλή επιτυχία και καλή συνέχεια, με την επισήμανση ότι το Ταξίδι αξίζει περισσότερο απ΄την Ιθάκη! Συνέχισε το Ταξίδι σου με περισσότερη όρεξη.

Μία λύση για το 4ο θέμα της Α΄ Λυκείου με στοιχειώδη εργαλεία:

Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό ακέραιο $\overline {abc}$ =100a + 10b + c, όπου a, b, c ψηφία με $\alpha \neq 0$ , ο οποίος να ικανοποιεί την ισότητα: $\overline {abc} = \left( {a + b^2 + c^3 } \right)^2$

Είναι: $\sqrt {\overline {abc} } = a + b^2 + c^3$ , οπότε $10\leq\alpha+\beta ^{2}+\gamma ^3 \leq 31$ .

Το ψηφίο μονάδων του $\overline {abc}$ είναι 0 ή 1 ή 4 ή 5 ή 6 ή 9, αφού είναι τέλειο τετράγωνο.

Αν $c\geq 4$ , τότε $c^{3}\geq 64$ , άτοπο, άρα c = 0 ή c = 1.

Για c = 0, είναι $\overline {abc}$ = 100 οπότε a =1, b = 0 απορρίπτεται
ή $\overline {abc}$ = 400 ή $\overline {abc}$ = 900 που επίσης απορρίπτονται.

Για c = 1, είναι: $\overline {abc}$ = 121, οπότε a = 1, b = 2, απορρίπτεται.
ή $\overline {abc}$ = 441 οπότε a = 4, b = 4 δεκτή, αφού 4 +4^2 +1 = 21 και 21^2 =441
ή $\overline {abc}$ = 961 οπότε a = 9, b = 6 απορρίπτεται.
ή $\overline {abc}$ = 361 οπότε a = 3, b = 6 απορρίπτεται.
ή $\overline {abc}$ = 841 οπότε a = 8, b = 4 απορρίπτεται.

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

#20

nkatsipis έγραψε:Καλησπέρα και από εμένα!
Τώρα πια (χωρίς τις υποχρεώσεις του στρατού... ) μπορώ και εγώ να συμμετέχω ενεργά στο club!
Να συγχαρώ όλους όσους βοήθησαν για την δημιουργία του Mathematica, και ιδιαιτέρως τον πολύ καλό μου φίλο Αλέξανδρο!

Νίκο, σε καλωσορίζουμε στη Λέσχη μας.

Να πω για να δουν οι υπόλοιποι: Ο Νίκος Κατσίπης πήρε Πτυχίο και Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης από το Μαθηματικό Κρήτης. Ως φοιτητής ήταν από τα σπάνια εκείνα ταλέντα, όπως και ο συμφοιτητής του Αλέξανδρος, που όλοι επιθυμούν να έχουν στο Τμήμα τους.

Νίκο, χαίρομαι ιδιαίτερα που μετέχεις στη Λέσχη.

Να υποθέσω ότι θα δώσεις ΑΣΕΠ;

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009

Μέλη σε σύνδεση