Επαναληπτικό θέμα διαφορικού λογισμού

fotios · #1

Θεωρούμε συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ έχουμε
$\displaystyle{f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)}$
$\displaystyle{g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)}$
$\displaystyle{f^2(x)+g^2(x)=1}$
και
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1}$
Να δείξετε ότι
(α') f(0)=0

και

,
(β')

και

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ,
(γ') $f(x)-f(y)=2\cdot g\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot f\left(\frac{x-y}{2}\right)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ ,
(δ') η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f'=g

.
(ε') Να βρεθεί ο αντίστοιχος του (γ) τύπος για τη διαφορά g(x)-g(y)

και
(ς') να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη και ισχύει g'=-f

.
(ζ') Να βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων f,g

.

#2

Περιληπτικά:
έστω [1],[2],[3],[4] οι δοσμένες σχέσεις με την σειρά της εκφώνησης

1) Για $\displaystyle{x=y=0}$ οι [1],[2],[3] δίνουν σύστημα με αγνώστους τα $\displaystyle{f(0),g(0)}$ απ' όπου βρίσκουμε $\displaystyle{f(0)=0,g(0)=1}$

2) Πάλι για $\displaystyle{y=-x}$ το σύστημα των [1],[2] με αγνώστους τα $\displaystyle{f(-x),g(-x)}$ με ορίζουσες λόγω της [3] δίνει το ζητούμενο

3)Για $\displaystyle{y=-y}$ η [1] δίνει $\displaystyle{f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)}$ [5]
Οι [1],[5] για $\displaystyle{(x+y)/2=u,(x-y)/2=v}$ με αφαίρεση κατά μέλη δίνουν το ζητούμενο

4)Από την [4] και αφού $\displaystyle{f(0)=0}$ η f είναι παραγωγίσιμη στο μηδέν άρα και συνεχής στο 0
από την [3] συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{-1\le g(x)\le 1}$ άρα από το 3ο ερώτημα έχουμε
$\displaystyle{-2f(\frac{x-y}{2})\le f(x)-f(y)\le 2f(\frac{x-y}{2})}$
οπότε αν θεωρήσουμε ότι $\displaystyle{x\to y}$ τότε $\displaystyle{\frac{x-y}{2}\to 0}$ συνεπώς αφού f συνεχής στο 0 από το ΚΠ προκύπτει ότι $\displaystyle{f(x)\to f(y)}$ άρα f συνεχής στο R οπότε $\displaystyle{f^2}$ συνεχής,
από[3] $\displaystyle{g^2}$ συνεχής,αλλά $\displaystyle{g(2x)=g^2(x)-f^2(x)=}$ συνεχής άρα g συνεχής
To 3o ερώτημα τώρα εξασφαλίζει το ζητούμενο διότι $\displaystyle{\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=g(\frac{x+y}{2})\frac{f(t)}{t} , 2t=x-y}$ άρα αν $\displaystyle{x\to y\Rightarrow t\to 0}$ οπότε επειδή g συνεχής λόγω [4] έπεται το ζητούμενο

5)Ο τύπος με παρόμοια διαδικασία είναι ο $\displaystyle{g(x)-g(y)=-2f(\frac{x+y}{2})f(\frac{x-y}{2})}$

6)ομοια με το 4ο

7)ασκηση του σχολικού
θεωρείστε την $\displaystyle{(f-sinx)^2+(g-cosx)^2}$ και δείχνουμε ότι είναι σταθερή (παράγωγος 0) και ίση με το 0 λόγω αρχικών τιμών...

Επαναληπτικό θέμα διαφορικού λογισμού

Επαναληπτικό θέμα διαφορικού λογισμού

Re: Επαναληπτικό θέμα διαφορικού λογισμού

Μέλη σε σύνδεση