Να βρείτε τις συναρτήσεις...

#1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ , οι οποίες έχουν την ιδιότητα:

Για κάθε $\displaystyle{\varepsilon >0}$ υπάρχει $\displaystyle{\delta>0}$ ώστε $\displaystyle{\left|x+y+z\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)+f(y)+f(z)\right|<\varepsilon}$

air · #2

Θέτοντας

παίρνουμε $|f(0)|< \displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\forall \varepsilon >0 \Rightarrow f(0)=0$ .

Ανάλογα με z=0,y=-x

προκύπτει $f(x)=-f(-x) \forall x\in\mathbb R$ , δηλαδή κάθε συνάρτηση-λύση είναι περιττή.

Τώρα με z=0

και θέτοντας όπου

το

, βλέπουμε ότι η

είναι συνεχής.

Τέλος με z=-x-y

προκύπτει $f(x)+f(y)=f(x+y) \forall x,y\in\mathbb R$ , δηλαδή Cauchy και λόγω της συνέχειας έπεται ότι οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι αυτές της μορφής $f(x)=ax,a\in\mathbb R$ , που επαληθεύουν την αρχική συνθήκη.

Να βρείτε τις συναρτήσεις...

Να βρείτε τις συναρτήσεις...

Re: Να βρείτε τις συναρτήσεις...

Μέλη σε σύνδεση