Μη πλήρως αναλλοίωτο κέντρο ομάδας

Ιστοσελίδα · #1

Θεωρούμε $G=F_{2x2}(\mathbb{Q})$ την ομάδα των 2Χ2 αντιστρέψιμων πινάκων επί των ρητών.
Αν η ορίζουσα ενός πίνακα $A \in G$ γραφεί στη μορφή : $|A| = \frac{m}{n}\cdot 2^{k_A},$ m,n περιττοί αριθμοί, τότε :
α) Να δειχθεί ότι η απεικόνιση : $\alpha (A) = \begin{pmatrix} 1 & k_A \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ είναι ενδομορφισμός της ομάδας

.

β) Το κέντρο της ομάδας

δεν είναι πλήρως αναλλοίωτη υποομάδα της.

air · #2

(Υποθέτω ότι $k_A\in\mathbb Z$ )

a)Το πρώτο πράγμα που πρέπει να δειχθεί είναι ότι η συνάρτηση είναι καλώς ορισμένη, με άλλα λόγια ότι σε κάθε πίνακα Α στο πεδίο ορισμού αντιστοιχεί μία μόνο τιμή k_A

. Έστω $k_{A'},k_A$ ικανοποιούν τη συγκεκριμένη ιδιότητα και χωρίς βλάβη $k_{A'}\leq k_A$ , τότε
$\exists m,m',n,n' \in 2\mathbb Z +1:\frac{m}{n}\cdot 2^{k_A}=\frac{m'}{n'}\cdot 2^{k_{A'} } \Rightarrow 2^{k_A-k_{A'}}mn'=nm'$ , και τώρα δεξιά έχω περιττό αριθμό, άρα ώστε να έχω και αριστερά περιττό αριθμό πρέπει $k_A-k_{A'}=0$ , όπως θέλαμε.

Μια άλλη παρατήρηση που πρέπει να γίνει είναι ότι $det(\alpha ( A))=1$ , δηλαδή με την απεικόνιση καταλήγουμε πάλι σε αντιστρέψιμο πίνακα, άρα όντως προκύπτει μια συνάρτηση $G\to G$ .

Το τελευταίο που πρέπει να δειχθεί είναι ότι η συνάρτηση είναι oμομορφισμός. Έστω $A,B \in G$ . Μετά από πράξεις βλέπουμε ότι αρκεί να δείξουμε ότι $k_{AB}=k_A+k_B$ . Αυτό όμως ισχυεί λόγω των σχέσεων $det(AB)=det(A)det(B),2^{k_A}2^{k_B}=2^{k_A+k_B}$ ( έπειτα απο επιχειρηματολογία ανάλογη με αυτή στο πρώτο κομμάτι της απόδειξης).

b) Παρατηρούμε ότι ο πίνακας $A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 2\end{pmatrix}$ ανήκει στο κέντρο της ομάδας. Όμως det(A)=4

, άρα

και

$\alpha (A) = \begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{pmatrix}$ . Πολλαπλασιασμός με τον πίνακα $B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\2 & 2\end{pmatrix}$ από δεξιά και απο αρίστερα δείχνει ότι $\alpha (A) \notin Z(G)$ , άρα το κέντρο δεν είναι πλήρως αναλλοίωτη υποομάδα.

Μη πλήρως αναλλοίωτο κέντρο ομάδας

Μη πλήρως αναλλοίωτο κέντρο ομάδας

Re: Μη πλήρως αναλλοίωτο κέντρο ομάδας

Μέλη σε σύνδεση