Βρείτε τη συνάρτηση...

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^2+y^2+2012xy)=x^2+y^2+2012f(x)f(y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

$\displaystyle{x=y=0,~~(1)\Rightarrow f(0)=0~~\eta~~2012 f(0)=1}$

$\displaystyle{y=0,~~(1)\Rightarrow f(x^2)=x^2+2012f(x)f(0)~~(2)}$

Αν $f(0)=0,~~(2)\Rightarrow f(x)=x,x\in \Bbb R$ ικανοποιεί την αρχική

Αν $2012 f(0)=1,~~(2)\Rightarrow f(x^2)=x^2+f(x)~~(3)}$

$x=1,~~(3)\Rightarrow 1=0$ άτοπο

#3

Μία συμπλήρωση:

Αν f(0)=0

τότε

δηλαδή

για κάθε $x\geq 0.$

Για x<0

παίρνουμε $\displaystyle{y>0}$ αρκετά μεγάλο ώστε x^2+y^2+2012xy>0

και βρίσκουμε f(x)=x.

Βρείτε τη συνάρτηση...

Βρείτε τη συνάρτηση...

Re: Βρείτε τη συνάρτηση...

Re: Βρείτε τη συνάρτηση...

Μέλη σε σύνδεση