Ελάχιστο πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης

#1

Έστω ${\cal{B}}=\bigl\{{\overrightarrow{\varepsilon_1}\,, \ \overrightarrow{\varepsilon_2}\,,\ldots,\, \ \overrightarrow{\varepsilon_n}}\bigr\}$ μια βάση του $\mathbb{C}$ -διανυσματικού χώρου ${\cal{V}}$ και $f:{\cal{V}}\longrightarrow{\cal{V}}$ η μοναδική γραμμική απεικόνιση για την οποία ισχύει ότι:

$f\bigl({\overrightarrow{\varepsilon_i}}\bigr)=\overrightarrow{\varepsilon_{i}}_{+1}\,,\quad1\leq{i}\leq{n-1}\,,\qquad{\text{\gr και}}\qquad{f}\bigl({\overrightarrow{\varepsilon_n}}\bigr)=\overrightarrow{0}\,.$

Να βρεθεί το ελάχιστο πολυώνυμο της

.

BAGGP93 · #2

Θα βρούμε τον πίνακα της

στη βάση

$f(\vec{e_1})=\vec{e_2}=0\vec{e_1}+1\vec{e_2}+...+0\vec{e_n}$

$f(\vec{e_2})=\vec{e_3}=0\vec{e_1}+0\vec{e_2}+1\vec{e_3}+.._0\vec{e_n}$
.
.
.
$f(\vec{e_n_-_1})=0\vec{e_1}+0\vec{e_2}+...+0\vec{e_n_-_1}+1\vec{e_n}$ και $f(\vec{e_n})=\vec{0}$

Συνεπώς o πίνακας της

στη βάση

είναι ο ακόλουθος

$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα

είναι το

και άρα

το ελάχιστο πολυώνυμο είναι $Q(t)=t^k,k\leq n$ διότι το ελάχιστο είναι κανονικό

Έπειτα από πράξεις βλέπουμε ότι $A^n=0 (\ast)$ και άρα Q(t)=t^n

το ελάχιστο πολυώνυμο του

,άρα και της

$(\ast)$ Ο

έχει

άσσους

Ο A^2

έχει

άσσους και συνεχίζοντας κατα τον ίδιο τρόπο βλέπουμε ότι A^n=0

#3

Κάπως πιο σύντομα:

Παρατηρούμε ότι f^n(e_i) = 0

για κάθε $1 \leqslant i \leqslant n$ και άρα από την γραμμικότητα της

ισχύει ότι f^n(v) = 0

για κάθε $v \in V$ . Επομένως το ελάχιστο πολυώνυμο της

διαιρεί το x^n

και άρα ισούται με x^k

για κάποιο $1 \leqslant k \leqslant n$ . Επειδή όμως $f^k(e_1) = e_{k+1} \neq 0$ για $1 \leqslant k \leqslant n-1$ το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το x^n

.

air · #4

Εναλλακτικά πάλι αφού στήσουμε τον πίνακα

, βλέπουμε ότι ειναι ήδη σε μορφή Frobenius. Κατα συνέπεια μπορούμε να " διαβάσουμε " απευθείας τους "elementary divisors" (ελληνικός όρος;) του πίνακα tE-A

, οι οποίοι είναι 1|1|....|1|t^n

και από γνωστό θεώρημα ο τελευταίος από αυτούς τους όρους είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα

(ενώ το γινόμενο όλων είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο).

Ελάχιστο πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης

Ελάχιστο πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης

Re: Ελάχιστο πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης

Re: Ελάχιστο πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης

Re: Ελάχιστο πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης

Μέλη σε σύνδεση