Εύκολη

#1

Δίνεται ο μιγαδικός

του οποίου η εικόνα κινείται στον μοναδιαίο κύκλο C: x^2+y^2=1

.
Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης A=6x-8y

.

Χρήστος

#2

...επειδή είναι εύκολη...

Θεωρώντας το διάνυσμα $\overrightarrow{a}=(x,y)$ γνωρίζουμε σύμφωνα με την υπόθεση ότι $\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1$ και για το διάνυσμα $\left| \overrightarrow{b} \right|=(6,-8)$ ότι

$\left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{{{6}^{2}}+{{(-8)}^{2}}}=\sqrt{100}=10$

Η παράσταση $A=6x-8y=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$ και επειδή ως γνωστόν ισχύει $\left| \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} \right|\le \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|$ θα είναι

$\left| \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} \right|\le 10\Leftrightarrow -10\le \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\le 10$ ή $-10\le A\le 10$

Τώρα λύνοντας το σύστημα των $6x-8y=10,\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ προκύπτει ότι $(x,y)=(\frac{3}{5},\,\,\,-\frac{4}{5})$ άρα

$\max A=10$ και λύνοντας το σύστημα των $6x-8y=-10,\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ προκύπτει $(x,y)=(-\frac{3}{5},\,\,\,\frac{4}{5})$

άρα $\min A=-10$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Παρόμοια λύση που δείχνει και γεωμετρική ερμηνεία.

Η εφαπτομένη $(\varepsilon )$ του κύκλου στο $M(\displaystyle\frac{3}{5}, - \displaystyle\frac{4}{5})$ έχει εξίσωση: $\displaystyle\frac{3}{5}x - \displaystyle\frac{4}{5}y = 1$ .Ομοίως η εφαπτομένη $(\varepsilon ')$ στο αντιδιαμετρικό του

, το $M'( - \displaystyle\frac{3}{5},\frac{4}{5})$ έχει εξίσωση: $- \displaystyle\frac{3}{5}x + \displaystyle\frac{4}{5}y = 1$ .
Η ευθεία $(\delta )$ με εξίσωση $6x - 8y - A = 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{3}{5}x - \displaystyle\frac{4}{5}x - \displaystyle\frac{A}{{10}} = 0$ είναι παράλληλη στις δύο πιο πάνω εφαπτόμενες και η απόσταση της αρχής από αυτή είναι:
$d = \displaystyle\frac{{|A|}}{{10}}$ . Αφού τα σημεία P(x,y)

επαληθεύουν τον κύκλο και την $(\delta )$
$d \le 1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{{|A|}}{{10}} \le 1 \Leftrightarrow |A| \le 10 \Leftrightarrow - 10 \le A \le 10$ . Την μέγιστη τιμή του

παίρνουμε όταν $(\delta ) \equiv (\varepsilon )$ και την ελάχιστη όταν $(\delta ) \equiv (\varepsilon ')$

Νίκος Φραγκάκης

S.E.Louridas · #4

Γιατί όχι και έτσι;
● $6x = 8y + A \Rightarrow \left( {8y + A} \right)^2 + 36y^2 = 36,\quad 100y^2 + 16Ay + A^2 - 36 = 0,\;y \in {\Cal R}.$
Οπότε παίρνουμε
$D \geqslant 0 \Rightarrow - 144A^2 + 14400 \geqslant 0 \Rightarrow A^2 \leqslant 100 \Rightarrow \left| A \right| \leqslant 10 \Rightarrow - 10 \leqslant A \leqslant 10...$

parmenides51 · #5

Θα με ενδιέφερε να δούμε και καμμία διαφορετική αντιμετώπιση γιατί από την πλευρά των μαθητών,
η παρούσα μόνο εύκολη δεν μου φαίνεται. Ωραία κι ασυνήθιστη είναι η αντιμετώπιση του Νίκου.

dennys · #6

Nα δώσουμε και μια άλλη προσέγγιση

A=6x-8y=6x+x^2-x^2-8y=6x+x^2+9-9-(1-y^2)-8y=(x+3)^2+(y-4)^2-26=|z-3+4i|^2-26

Αν

και $4 \le ||z|-|3-4i||\le |z-(3-4i)|\le |z|+5=6\Rightarrow 16\le |z-3+4i|^2 \le 36$

$-10 \le |z-3+4i|^2-26 \le 10$

Η τομη της ευθείας y=-4/3x

και του κύκλου x^2+y^2=1

θα δώσει τα σημεία που επιτυγχάνονται τα min,max δηλ (-3/5,4/5),(3/5,-4/5)

φιλικά dennys

irakleios · #7

Είναι

και

με πρόσθεση κατά μέλη 36x^2 + 64y^2 = 100 -(64x^2 + 36y^2)

προσθέτουμε και στα δύο μέλη το $-2\cdot6x \cdot8y$ και παίρνουμε $(6x - 8y)^2 = 100 - (8x + 6y)^2 \leq 100$ άρα $(6x - 8y)^2 \leq 100$ οπότε $-10\leq 6x-8y \leq 10.$

#8

xr.tsif έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός του οποίου η εικόνα κινείται στον μοναδιαίο κύκλο .
Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης .

Χρήστος

Λύση αβίαστη με μιγαδικούς δεν βλέπω. Με τριγωνομετρία, μετά την προφανή αντικατάσταση $x=sin\omega ,y=cos\omega$ ,αρκεί να εργαστούμε με την παράσταση $6sin\omega -8cost\omega$ που γράφεται, ως γνωστό, στη μορφή $10sin(\omega +\varphi )$

Λύση δίνει και η ανισότητα $(6^2+8^2)(x^2+y^2)-(6x-8y)^2\geq 0$

#9

Καλησπέρα σε όλους!

Εξακολουθώ κάθε μέρα να εκπλήσσομαι από την πληθώρα και κυρίως την ταχύτητα και την ποιότητα των παρεμβάσεων των φίλων του forum!

Νομίζω έχουμε ξαναδεί κάτι παρόμοιο.

Δίνω τη λύση που μού θυμίζει κάτι..., και είναι περίπου σαν του Βασίλη τη λύση.

Έστω $\displaystyle {\rm{\vec u = }}\left( {{\rm{x}}{\rm{,}}\;{\rm{y}}} \right),\;\;\vec v = \left( {6,\; - 8} \right)$ .

Τότε $\displaystyle A = {\rm{\vec u}} \cdot \vec v = \left| {{\rm{\vec u}}} \right| \cdot \left| {\vec v} \right|\sigma \upsilon \nu \phi$ , όπου $\displaystyle \phi$ η γωνία των δύο διανυσμάτων.

Είναι $\displaystyle A = {\rm{1}} \cdot 10 \cdot \sigma \upsilon \nu \phi$ , κι επειδή $\displaystyle - 1 \le \sigma \upsilon \nu \phi \le 1$ θα είναι $\displaystyle - 10 \le {\rm A} \le 10$

με την ελάχιστη τιμή για $\displaystyle \vec u \nearrow \swarrow \vec v$ δηλαδή $\displaystyle z = - 0,6 + 0,8i$ και μέγιστη για $\displaystyle \vec u \nearrow \nearrow \vec v$ δηλαδή για $\displaystyle z = 0,6 - 0,8i$

Εύκολη

Εύκολη

Re: Εύκολη

Re: Εύκολη

Re: Εύκολη

Re: Εύκολη

Re: Εύκολη

Re: Εύκολη

Re: Εύκολη

Re: Εύκολη

Μέλη σε σύνδεση