Αριθμοί Fibonacci (3)

#1

Υπολογίστε το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n\geq0}\frac{1}{(5a)^n(n+2)}\sum_{k=0}^{n}\frac{F_{k+1}F_{n-k+1}}{k+1}}$ , όπου $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ και F_n

ο

οστός αριθμός Fibonacci.

#2

Ίσως μπορεί να βοηθήσει...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #3

Δίνουμε μία λύση.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 17, 2012 8:30 pm
Υπολογίστε το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n\geq0}\frac{1}{(2a)^n(n+2)}\sum_{k=0}^{n}\frac{F_{k+1}F_{n-k+1}}{k+1}}$ , όπου $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ και ο οστός αριθμός Fibonacci.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{x^n}{n+2} \sum_{k=0}^{n} \frac{\mathcal{F}_{k+1} \mathcal{F}_{n-k+1}}{k+1}}$ . Το ζητούμενο άθροισμα είναι η τιμή $\displaystyle{f \left ( \frac{1}{2 \varphi} \right )}$ . Ξεκινάμε από τη γεννήτρια των αριθμών Fibonacci η οποία είναι:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \mathcal{F}_{n} x^n = \frac{x}{1-x-x^2} \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \mathcal{F}_{n+1} x^n = \frac{1}{1-x-x^2} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \left | x \right | < \frac{1}{\varphi}}$
την οποία ολοκληρώνουμε. Τότε έχουμε:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} \mathcal{F}_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \log \frac{1 + \frac{x}{\varphi}}{1 - x \varphi}}$
Όμως, από το γινόμενο Cauchy έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{5}} \log \frac{1 + \frac{x}{\varphi}}{1 - x \varphi} \frac{1}{1-x-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1} \sum_{k=0}^{n} \frac{\mathcal{F}_{k+1} \mathcal{F}_{n-k+1}}{k+1}}$
Ολοκληρώνοντας ακόμα μία φορά έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{10} \log^2 \frac{1 + \frac{x}{\varphi}}{1 - x \varphi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n+2} \sum_{k=0}^{n} \frac{\mathcal{F}_{k+1} \mathcal{F}_{n-k+1}}{k+1} = x^2 f(x)}$

Τότε,

$\displaystyle{f \left ( \frac{1}{2\varphi} \right ) = \frac{2 \varphi^2}{5} \log^2 \frac{1 + 2 \varphi^2}{\varphi^2}}$

Αριθμοί Fibonacci (3)

Αριθμοί Fibonacci (3)

Re: Αριθμοί Fibonacci (3)

Re: Αριθμοί Fibonacci (3)

Μέλη σε σύνδεση