Πυκνό σύνολο

#1

Μία ενδιαφέρουσα από Mathematics Magazine

Μπορούμε να βρούμε πυκνό υποσύνολο του $\displaystyle{\Bbb{R}^2}$ , ώστε δύο οποιαδήποτε σημεία του να έχουν απόσταση

ίση με έναν άρρητο αριθμό;

#2

Αρκεί να βρούμε ένα υποσύνολο

του $\mathbb{R}^2$ ώστε
(α) Το

τέμνει κάθε κύκλο με ρητό κέντρο και ρητή ακτίνα.
(β) Κάθε δυο διαφορετικά σημεία του

έχουν άρρητη απόσταση.

Υπάρχουν αριθμήσιμοι κύκλοι με ρητό κέντρο και ρητή ακτίνα. Έστω $C_1,C_2,\ldots$ μια απαρίθμησή τους. Παίρνουμε οποιοδήποτε $x_1 \in C_1$ . Έστω ότι έχουμε ήδη βρει τα $x_1,\ldots,x_n$ ώστε $x_i \in C_i$ και όλες οι αποστάσεις άρρητοι. Για το $x_{n+1}$ θέλουμε $x_{n+1} \in C_{n+1}$ και $|x_i - x_{n+1}|$ άρρητος. Όμως το $C_{n+1}$ έχει υπεράριθμα σημεία ενώ μόνο αριθμήσιμος αριθμός σημείων δεν ικανοποιούν τις συνθήκες ο $|x_i - x_{n+1}|$ να είναι άρρητος. Επομένως υπάρχει $x_{n+1}$ με τις ιδιότητες που θέλουμε.

Τότε το $A = \{x_1,x_2,\ldots\}$ ικανοποιεί το ζητούμενο.

#3

Demetres έγραψε:Αρκεί να βρούμε ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$ ώστε
(α) Το τέμνει κάθε κύκλο με ρητό κέντρο και ρητή ακτίνα.
(β) Κάθε δυο διαφορετικά σημεία του έχουν άρρητη απόσταση.

Υπάρχουν αριθμήσιμοι κύκλοι με ρητό κέντρο και ρητή ακτίνα. Έστω $C_1,C_2,\ldots$ μια απαρίθμησή τους. Παίρνουμε οποιοδήποτε $x_1 \in C_1$ . Έστω ότι έχουμε ήδη βρει τα $x_1,\ldots,x_n$ ώστε $x_i \in C_i$ και όλες οι αποστάσεις άρρητοι. Για το $x_{n+1}$ θέλουμε $x_{n+1} \in C_{n+1}$ και $|x_i - x_{n+1}|$ άρρητος. Όμως το $C_{n+1}$ έχει υπεράριθμα σημεία ενώ μόνο αριθμήσιμος αριθμός σημείων δεν ικανοποιούν τις συνθήκες ο $|x_i - x_{n+1}|$ να είναι άρρητος. Επομένως υπάρχει $x_{n+1}$ με τις ιδιότητες που θέλουμε.

Τότε το $A = \{x_1,x_2,\ldots\}$ ικανοποιεί το ζητούμενο.

Πολύ ωραία διαπραγμάτευση, αλλά ας βρούμε και μία κατασκευαστική λύση!!

#4

Έστω $\displaystyle{x}$ ένας οποιοσδήποτε θετικός υπερβατικός αριθμός (π.χ. $\displaystyle{x = \pi }$ ).

Θεωρούμε το σύνολο

$\displaystyle{D = \left\{ {\left( {ax,bx} \right):a,b \in \mathbb{Q}} \right\}}$ .

Εφόσον το $\mathbb{Q}$ είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ , το $\displaystyle{D}$ θα είναι πυκνό στο $\mathbb{R}^2$ .

Η απόσταση δύο διαφορετικών σημείων $\displaystyle{{A_1}\left( {{a_1}x,{b_1}x} \right)}$ , $\displaystyle{{A_2}\left( {{a_2}x,{b_2}x} \right)}$ του συνόλου $\displaystyle{D}$ είναι ίση με

$\displaystyle{d = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} x = tx,}$

όπου ο αριθμός $\displaystyle{t = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} }$ είναι αλγεβρικός. Άρα, ο αριθμός $\displaystyle{d = tx}$ είναι υπερβατικός, οπότε θα είναι και άρρητος.

#5

emouroukos έγραψε:Έστω $\displaystyle{x}$ ένας οποιοσδήποτε θετικός υπερβατικός αριθμός (π.χ. $\displaystyle{x = \pi }$ ).

Θεωρούμε το σύνολο

$\displaystyle{D = \left\{ {\left( {ax,bx} \right):a,b \in \mathbb{Q}} \right\}}$ .

Εφόσον το $\mathbb{Q}$ είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ , το $\displaystyle{D}$ θα είναι πυκνό στο $\mathbb{R}^2$ .

Η απόσταση δύο διαφορετικών σημείων $\displaystyle{{A_1}\left( {{a_1}x,{b_1}x} \right)}$ , $\displaystyle{{A_2}\left( {{a_2}x,{b_2}x} \right)}$ του συνόλου $\displaystyle{D}$ είναι ίση με

$\displaystyle{d = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} x = tx,}$

όπου ο αριθμός $\displaystyle{t = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} }$ είναι αλγεβρικός. Άρα, ο αριθμός $\displaystyle{d = tx}$ είναι υπερβατικός, οπότε θα είναι και άρρητος.

Βαγγέλη

αυτό εννοούσα.

#6

ΠΑΡΑ πολύ ωραίες και οι δύο λύσεις.

Ας προσθέσω ένα απειροελάχιστο σχόλιο: Στη λύση του Βαγγέλη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πιο απλούς αριθμούς από τους υπερβατικούς. Για παράδειγμα αν πάρουμε το πυκνό

$\displaystyle{D = \left\{ {\left( {a \sqrt [3]{2},b\sqrt [3]{2}} \right):a,b \in \mathbb{Q}} \right\}}$ . τότε η απόσταση δύο σημείων είναι

$\displaystyle{d = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} \sqrt [3]{2} = \sqrt Q \sqrt [3]{2}}$ , όπου

ρητός.

Ο τελευταίος αριθμός είναι άρρητος γιατί αν ήταν ρητός

, τετράγωνίζοντας θα είχαμε το άτοπο $\displaystyle{\sqrt [3]{4}=P^2/Q \in \mathbb Q}$ . Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Πυκνό σύνολο

Πυκνό σύνολο

Re: Πυκνό σύνολο

Re: Πυκνό σύνολο

Re: Πυκνό σύνολο

Re: Πυκνό σύνολο

Re: Πυκνό σύνολο

Μέλη σε σύνδεση