μιγαδικοί αριθμοί και οχι μόνο ...8 (τελευταία)

dennys · #1

1)Δίνεται ενας μιγαδικός αριθμός $z: |z-1|+|z-i|=\sqrt{2}$

Θέτοντας $z=x+yi,x,y \in R$ να βρείτε την γραμμη κίνησης της εικόνας του , και τα |z|min,max

2)Αν για τον μιγαδικό w: |w-2i|-|w+2i|=2

να βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση της γραμμης που κινείται η εικόνα του

και το

3)Eπίσης για τον $u=\cfrac{1}{sint+(cost+2)i}$ ζητείται να βρεθει που κινείται η εικόνα του.

4)Βρείτε τα μέγιστα -ελάχιστα των |z-w|,|z+w|,|w-u|,|w+u|

#2

...γιά την ώρα,...γιά τα πρώτα δύο ερωτήματα...

1) ...να μου επειτρέψει ό φίλος μου ο Διονύσης να μη κάνω πράξεις και να το δούμε λίγο γεωμετρικά το ερώτημα....

έτσι αν M(z)

εικόνα του

στο μιγαδικό επίπεδο και $A(1,\,\,0),\,\,B(0,\,\,1)$ σύμφωνα με την δοθείσα ισότητα ισχύει ότι

$\left| \overrightarrow{MA} \right|+\left| \overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{AB} \right|$ ή ότι $\left| \overrightarrow{MA} \right|+\left| \overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA} \right|$ επομένως $\overrightarrow{MA}\nearrow \swarrow \overrightarrow{MB}$ που σημαίνει ότι το

σημείο του ευθυγράμμου τμήματος

, της ευθείας που ανήκουν τα $A,\,B$ δηλαδή της $(\varepsilon )\,\,:\,y=-x+1$

Τώρα προφανώς $\max \left| z \right|=(OA)=(OB)=1$ και φέρνοντας την κάθετη $O\Gamma$ στην $(\varepsilon )$ το

$\Gamma$ είναι μέσο του

και είναι $\min \left| z \right|=(O\Gamma )=\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Αν

η εικόνα του

στο μιγαδικό επίπεδο και ${E}'(0,\,\,2),\,\,\,E(0,\,\,2)$ σύμφωνα με την δοθείσα ισότητα, θα ισχύει (P{E}')-(PE)=2

που σημαίνει ότι

τα σημεία

ανήκουν στο κλάδο της υπερβολής με εστίες τα σημεία ${E}'(0,\,\,2),\,\,\,E(0,\,\,2)$ και σταθερή διαφορά $2\alpha =2\Leftrightarrow \alpha =1$

που βρίσκεται η $E(0,\,\,2)$ γιατί $(P{E}')-(PE)>0\Leftrightarrow (P{E}')>(PE)$ και επειδή $2\gamma =4\Leftrightarrow \gamma =2$

και ${{\beta }^{2}}={{\gamma }^{2}}-{{\alpha }^{2}}=3$ έχει αναλυτική εξίσωση $\frac{{{y}^{2}}}{1}-\frac{{{x}^{2}}}{3}=1$ .

Επειδή η κορυφή που αντιστοιχει στον παραπάνω κλάδο είναι η $K(0,\,\,1)$ προφανώς $\min \left| w \right|=1$

...γιά τα άλλα δύο αν αντέξω και άλλο...ή κάποιος άλλος...της νύχτας...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Βασίλη καλησπέρα . συνεχίζω λίγο παρακάτω με επιφύλαξη λόγω ώρας και όχι μόνο.

1) Έστω M(z)

οι εικόνες του

και $C(1,0)\,,\,A(0,1)$ προφανώς $AC = \sqrt 2$ .
Η εξίσωση $|z - 1| + |z - i| = \sqrt 2 \Leftrightarrow MC + MA = \sqrt 2$ . Δηλαδή ο μιγαδικός z = x + yi

με $x,y \in \Re$ επαληθεύει τις σχέσεις : $x + y = 1,\,0 \le y \le 1$ κι αυτό γιατί η εικόνα του κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα

.
Με βάσει τα πιο πάνω $\max |z| = 1,\min |z| = \displaystyle\frac{{\sqrt 2 }}{2} = OH$ .
2) Έστω τώρα τα σταθερά σημεία E'(0, - 2),E(0,2),A'(0, - 1),A(0,1)

.
Για κάθε σημείο N(w)

που είναι εικόνα του μιγαδικού $w = x + yi\,\,\,\,x,y \in \Re$ έχουμε: NE - NE' = 2

συνεπώς το

διαγράφει τον κάτω κλάδο της υπερβολής με εξίσωση: $\displaystyle\frac{{{y^2}}}{1} - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{3} = 1$ γιατί ME > ME'

. Δηλαδή $x \in R,y \in ( - \infty , - 1]$ ,
Πάλι με βάσει τα παραπάνω $\min |w| = 1 = OA'$ .
3)
Ας πούμε $v = \sin t + (\cos t + 2)i,t \in \Re$ . Τότε $- vi = \cos t + 2 - i\sin t$ , άρα
$vi + 2 = - \cos t + i\sin t$ . από την τελευταία έχουμε $|vi + 2| = 1 \Leftrightarrow |v - 2i| = 1$ .
Έτσι αντικαθιστώντας όπου $v = \displaystyle\frac{1}{u}$ προκύπτει: $|\displaystyle\frac{1}{u} - 2i| = 1 \Leftrightarrow |2u + i| = |u|$ .
Με τον κλασσικό τρόπο αν $u = x + yi\,\,\,x,y \in \Re$ έχουμε ${x^2} + {y^2} + \displaystyle\frac{4}{3}y + \displaystyle\frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {(y + \displaystyle\frac{2}{3})^2} = {(\displaystyle\frac{1}{3})^2}$ . Δηλαδή τα σημεία P(u)

που είναι εικόνες του μιγαδικού

ανήκουν στον κύκλο κέντρου $K(0, - \displaystyle\frac{2}{3})$ και ακτίνας $r = \displaystyle\frac{1}{3}$ .
Τώρα για τα ζητούμενα μέγιστα κι ελάχιστα ας δώσουμε ενδεικτικά μια περίπτωση.
π.χ. για το ελάχιστο |z - w|

αρκεί να βρούμε την ακτίνα

του κύκλου που έχει κέντρο το C(1,0)

και εφάπτεται του κλάδου της υπερβολής ${y^2} = 1 + \displaystyle\frac{{{x^2}}}{3},y \le - 1$ .
Θα απαιτήσουμε η εξίσωση ${(x - 1)^2} + 1 + \displaystyle\frac{{{x^2}}}{3} - {r^2} = 0$ να έχει διπλή ρίζα που μετά τις πράξεις δίδει : $\min |z - w| = r = \displaystyle\frac{{\sqrt 5 }}{2}$ .
Μέγιστη τιμή για το μέτρο |z - w|

δεν υπάρχει.

Νίκος

dennys · #4

Καλημέρα σε όλους

Ωραίες λύσεις ,αλλά θα ήθελα να δοθεί το 1) με z=x+yi

και πράξεις γιατί έχει ωραία εξέλιξη. Επίσης θα ηθελα οι μαθητες να δούνε γιατί

η 2) είναι υπερβολή με w=x+yi

.,και όχι μόνο με τον όρισμό της υπερβολής.

Για το 3) θα μπορούσε κάποιος να πεί $1/u=sint+2i+cost i\Rightarrow 1/u-2i=sint+cost i\Rightarrow |\cfrac{1}{u}-2i|=1......$

ας τελειώσει κάποιος και τα άλλα ερωτήματα

dennys

Βαγενας θεοδωρος · #5

1)...μετά από πράξεις προκύπτει (x+y-1)^2=0

με $x\in[0,1]$ από τους περιορισμούς του τετραγωνισμού..

μιγαδικοί αριθμοί και οχι μόνο ...8 (τελευταία)

μιγαδικοί αριθμοί και οχι μόνο ...8 (τελευταία)

Re: μιγαδικοί αριθμοί και οχι μόνο ...8 (τελευταία)

Re: μιγαδικοί αριθμοί και οχι μόνο ...8 (τελευταία)

Re: μιγαδικοί αριθμοί και οχι μόνο ...8 (τελευταία)

Re: μιγαδικοί αριθμοί και οχι μόνο ...8 (τελευταία)

Μέλη σε σύνδεση