Μιγαδικοί - Μέτρα

christodoulou · #1

Έστω $z_{1},z_{2},z_{3}$ είναι 3 διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε : $\left| z_{1}\right|=\left| z_{2}\right|=\left| z_{3}\right|=\rho >0$ .
Αν οι $z_{1}+ z_{2} z_{3}$ , $z_{2}+ z_{1} z_{3}$ και $z_{3}+ z_{1} z_{2}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι : $z_{1}z_{2} z_{3}=1$ .

#2

christodoulou έγραψε:Έστω $z_{1},z_{2},z_{3}$ είναι 3 διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε : $\left| z_{1}\right|=\left| z_{2}\right|=\left| z_{3}\right|=\rho >0$ .
Αν οι $z_{1}+ z_{2} z_{3}$ , $z_{2}+ z_{1} z_{3}$ και $z_{3}+ z_{1} z_{2}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι : $z_{1}z_{2} z_{3}=1$ .

Για ευκολία ας είναι οι μιγαδικοί οι $\displaystyle{a,b,c}$ και $\displaystyle{r}$ το κοινό τους μέτρο.

Είναι $\displaystyle{a+bc\in \mathbb{R} ,b+ca\in \mathbb{R}\implies a+bc-(b+ca)\in \mathbb{R}\implies (a-b)(1-c)\in \mathbb{R}}$

άρα

$\displaystyle{(a-b)(1-c)=(\bar{a}-\bar{b})(1-\bar{c})\implies (a-b)(1-c)=\Big(\frac{r^2}{a}-\frac{r^2}{b}\Big)\Big(1-\frac{r^2}{c^2}\Big)\implies c-1=r^2\frac{c-r^2}{abc},}$ αφού $\displaystyle{a\ne b}$ (τη λέξη της εκφώνησης "διαφορετικοί" την εκλαμβάνω ως διαφορετικοί ανά δύο, αφού διαφορετικά δεν ισχύει το ζητούμενο.)

Από την τελευταία σχέση προκύπτει

$\displaystyle{c(r^2-abc)=r^4-abc.}$ (Ι)

Αν ήταν $\displaystyle{abc\ne r^2,}$ θα είχαμε

$\displaystyle{c=\frac{r^4-abc}{r^2-abc}}$ και με τον ίδιο ακριβώς τρόπο θα βρίσκαμε και

$\displaystyle{a=b=\frac{r^4-abc}{r^2-abc},}$ άτοπο.

Άρα

$\displaystyle{abc=r^2,}$

οπότε η (Ι) γίνεται $\displaystyle{r^4-r^2=0\implies r=1}$ και τελικά $\displaystyle{abc=1.}$

dennys · #3

Εστω οτι $z_1z_2z_3=x+yi, x,y \in R$ και z_k=x_k+k_ki,k=1,2,3

επειδή $z_1+z_2z_3=x_1+y_1i+\cfrac{(x+yi)}{x_1+y_1i}=x_1+y_1i+\cfrac{(x+yi)(x_1+y_1i)}{x_1^2+y_1^2}$

$x_1+y_1i+\cfrac{xx_1-xy_1i+x_1yi+yy_1}{(\rho)^2} \in R \Rightarrow Im(z_1+z_2z_3)=0, y_1+\cfrac{x_1y}{(\rho)^2}-\cfrac{xy_1}{(\rho)^2}=0\Rightarrow y_1x-x_1y=(\rho)^2y_1 (1)$

και όμοια $y_2x-x_2y=(\rho)^2y_2 (2), y_3x-x_3y=(\rho)^2y_3 (3)$

Το σύστημα των (1),(2) δίνει $x=\cfrac{D_x}{D}=(\rho)^2, y=\cfrac{D_y}{D}=0$ τιμές που επαληθεύουν την (3)

Τότε ομως $|z_1z_2z_3|=(\rho)^2\Rightarrow (\rho)^3=(\rho)^2\Rightarrow \rho=1\Rightarrow z_1z_2z_3=1$

φιλικά dennys

Μιγαδικοί - Μέτρα

Μιγαδικοί - Μέτρα

Re: Μιγαδικοί - Μέτρα

Re: Μιγαδικοί - Μέτρα

Μέλη σε σύνδεση