Διανυσματικός Χώρος

kbatsos · #1

Έστω ${\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y$ στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου

επί του

. Να δειχθεί ότι $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle = \langle {\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle$ αν και μόνο αν το

είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των ${\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k$ .

#2

Θες να δείξεις δυο πράγματα

(α) Αν το

είναι γραμμικός συνδυασμός των ${\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k$ τότε $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle = \langle {\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle$

και

(β) Αν $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle = \langle {\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle$ τότε το

είναι γραμμικός συνδυασμός των ${\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k$ .

Σε ποιο/ποια από τα δύο δυσκολεύεσαι;

kbatsos · #3

Το πρώτο σκέλος το έλυσα εύκολα, αλλά στο δεύτερο δυσκολεύομαι.

#4

Εφόσον $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle = \langle {\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle$ τότε κάθε στοιχείο του $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle$ ανήκει στο $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k\rangle$ . Τι σου λέει αυτό για το

;

kbatsos · #5

Έχουμε $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle =$ ${\boldsymbol x}_1{\boldsymbol l}_1{+},\ldots,{\boldsymbol x}_k{\boldsymbol l}_k{+}{\boldsymbol l}_k_+_1{\boldsymbol y}$ και $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle =$ ${\boldsymbol x}_1{\boldsymbol m}_1{+},\ldots,{\boldsymbol x}_k\boldsymbol m}_k$ . Επειδή $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle = \langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle$ βρίσκουμε ότι ${\boldsymbol y}{\boldsymbol l}_k_+_1= {(\boldsymbol m}_1-{\boldsymbol l}_1){\boldsymbol x}_1+,\ldots,{(\boldsymbol m}_k-{\boldsymbol l}_k)$ . Συνεπώς το ${\boldsymbol y}$ είναι γραμμικός συνδυασμός των ${\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k$ . Σωστό;

#6

kbatsos έγραψε:Έχουμε $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle =$ ${\boldsymbol x}_1{\boldsymbol l}_1{+},\ldots,{\boldsymbol x}_k{\boldsymbol l}_k{+}{\boldsymbol l}_k_+_1{\boldsymbol y}$ και $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle =$ ${\boldsymbol x}_1{\boldsymbol m}_1{+},\ldots,{\boldsymbol x}_k\boldsymbol m}_k$ . Επειδή $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle = \langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle$ βρίσκουμε ότι ${\boldsymbol y}{\boldsymbol l}_k_+_1= {(\boldsymbol m}_1-{\boldsymbol l}_1){\boldsymbol x}_1+,\ldots,{(\boldsymbol m}_k-{\boldsymbol l}_k)$ . Συνεπώς το ${\boldsymbol y}$ είναι γραμμικός συνδυασμός των ${\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k$ . Σωστό;

Όχι δεν είναι σωστό. Το $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle$ είναι διανυσματικός χώρος. Το ${\boldsymbol x}_1{\boldsymbol l}_1{+},\ldots,{\boldsymbol x}_k{\boldsymbol l}_k{+}{\boldsymbol l}_k_+_1{\boldsymbol y}$ είναι ένα στοιχείο αυτού του διανυσματικού χώρου οπότε δεν μπορούμε να μιλάμε για ισότητα μεταξύ τους. Αυτό που όντως ισχύει είναι ότι κάθε στοιχείο αυτού του διανυσματικού χώρου μπορεί να γραφτεί σε αυτήν την μορφή για κάποια $\ell_1,\ldots,\ell_k,\ell_{k+1}$ . Το ίδιο ακριβώς λάθος επαναλαμβάνεις και μετά.

Αυτό που πρέπει να πεις είναι ότι αφού το $y \in \langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle$ τότε $y \in \langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k\rangle$ . Όμως τότε υπάρχουν $m_1,\ldots,m_k$ ώστε $y = m_1 {\boldsymbol x}_1 + \cdots + m_k{\boldsymbol x}_k$ , δηλαδή το

είναι γραμμικός συνδυασμός των ${\boldsymbol x}_1, \ldots , {\boldsymbol x}_k$ .

kbatsos · #7

Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση ότι δεν ισχύει η ισότητα, γιατί αν δε μου το επισημαίνατε θα ήταν ένα λάθος που θα το έκανα συνέχεια.

#8

Αν είναι δες ξανά και το (α) μήπως έκανες και εκεί τα ίδιο λάθος.

kbatsos · #9

Έστω

$\varepsilon$ $<{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y>$ όμως τότε υπάρχουν $m_1,\ldots,m_k,m_k_+_1$ ώστε $a = m_1 {\boldsymbol x}_1 + \cdots + m_k{\boldsymbol x}_k+m_k_+_1{\boldsymbol y}$ . Αλλά $y = l_1 {\boldsymbol x}_1 + \cdots + l_k{\boldsymbol x}_k$ συνεπώς $a = (m_1+l_1m_k_+_1) {\boldsymbol x}_1 + \cdots + (m_k+l_km_k_+_1){\boldsymbol x}_k$ . Άρα συμπεραίνουμε ότι

$\varepsilon$ $<{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k>$ επομένως $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle = \langle {\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle$ . Είναι σωστό?

#10

Σωστό αλλά μόνο το μισό. Η τελευταία γραμμή έπρεπε να λέει «...επομένως $\langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle \subseteq \langle {\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle$ .»

Πρέπει να δείξεις και ότι $\langle {\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k \rangle \subseteq \langle{\boldsymbol x}_1,\ldots,{\boldsymbol x}_k,y \rangle$ το οποίο είναι πιο άμεσο. (Δεν ξέρω να για αυτόν τον λόγο δεν έγραψες κάτι.)

kbatsos · #11

Έπρεπε να το είχα επισημάνει. Σας ευχαριστώ πολύ για το χρόνο που διαθέσατε!

Διανυσματικός Χώρος

Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Re: Διανυσματικός Χώρος

Μέλη σε σύνδεση