IMC 2003/1/3

#1

Έστω

ένας $n \times n$ πραγματικός πίνακας ώστε 3A^3 = A^2 + A + I

. Να δειχθεί ότι η ακολουθία A^k

συγκλίνει σε ένα ταυτοδύναμο πίνακα. (Δηλαδή σε ένα πίνακα

με την ιδιότητα B^2 = B

.)

#2

Εφόσον $\displaystyle{3{A^3} - {A^2} - A - I = O}$ , το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα $\displaystyle{A}$ θα διαιρεί το πολυώνυμο $\displaystyle{3{x^3} - {x^2} - x - 1}$ , το οποίο έχει απλές ρίζες $\displaystyle{1, - \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 2 }}{3}i, - \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt 2 }}{3}i}$ . Άρα, ο πίνακας $\displaystyle{ A}$ θα είναι διαγωνοποιήσιμος: θα υπάρχουν αντιστρέψιμος πίνακας $\displaystyle{P}$ και διαγώνιος πίνακας

$\displaystyle{D = diag\left( {{\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _n}} \right)}$ , με $\displaystyle{{\lambda _j} \in \left\{ {1, - \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 2 }}{3}i, - \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt 2 }}{3}i} \right\}}$ για $\displaystyle{j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$

τέτοιοι, ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{A = {P^{ - 1}}DP}$

και άρα

$\displaystyle{{A^k} = {P^{ - 1}}{D^k}P}$ για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$ .

Εφόσον $\displaystyle{{D^k} = diag\left( {\lambda _1^k,\lambda _2^k, \ldots ,\lambda _n^k} \right)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\left( { - \frac{1}{3} \pm \frac{{\sqrt 2 }}{3}i} \right)^k} = 0}$

(αφού $\displaystyle{{\left| { - \frac{1}{3} \pm \frac{{\sqrt 2 }}{3}i} \right| = \frac{1}{3} < 1}}$ ),

θα είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \lambda _j^k \in \left\{ {0,1} \right\}}$ για κάθε $\displaystyle{j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$ .

Επομένως, ο πίνακας $\displaystyle{\tilde D: = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {D^k}}$ είναι διαγώνιος, με τα διαγώνια στοιχεία του να ανήκουν στο $\displaystyle{\left\{ {0,1} \right\}},$ οπότε θα είναι ταυτοδύναμος: $\displaystyle{{\tilde D^2} = \tilde D}$ . Άρα και ο πίνακας

$\displaystyle{\tilde A: = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {A^k} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {P^{ - 1}}{D^k}P = {P^{ - 1}}\tilde DP}$

θα είναι ταυτοδύναμος.

IMC 2003/1/3

IMC 2003/1/3

Re: IMC 2003/1/3

Μέλη σε σύνδεση